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Theorem txswaphmeo 17496
Description: There is a homeomorphism from  X  X.  Y to  Y  X.  X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeo  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( K  tX  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
31, 2cnmpt2nd 17363 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
41, 2cnmpt1st 17362 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
51, 2, 3, 4cnmpt2t 17367 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( K  tX  J ) ) )
6 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
76ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
98ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X ) )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
1110fmpt2 6191 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X )  <-> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X ) )
129, 11sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X ) )
13 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1413ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  X ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1615ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1817fmpt2 6191 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y )  <-> 
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )
1916, 18sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )
20 txswaphmeolem 17495 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  o.  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )  =  (  _I  |`  ( Y  X.  X ) )
21 txswaphmeolem 17495 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
22 fcof1o 5803 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )  /\  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  o.  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )  =  (  _I  |`  ( Y  X.  X ) )  /\  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
) ) )
2320, 21, 22mpanr12 666 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X
)  /\  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) ) )
2412, 19, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X
)  /\  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) ) )
2524simprd 449 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )
262, 1cnmpt2nd 17363 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
) )
272, 1cnmpt1st 17362 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  K
) )
282, 1, 26, 27cnmpt2t 17367 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
2925, 28eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  ( J  tX  K
) ) )
30 ishmeo 17450 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Homeo  ( K  tX  J ) )  <->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( K 
tX  J ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
315, 29, 30sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( K  tX  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255    Homeo chmeo 17444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257  df-hmeo 17446
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