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Theorem txswaphmeo 17512
Description: There is a homeomorphism from  X  X.  Y to  Y  X.  X. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeo  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( K  tX  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeo
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
31, 2cnmpt2nd 17379 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
41, 2cnmpt1st 17378 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
51, 2, 3, 4cnmpt2t 17383 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  ( K  tX  J ) ) )
6 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
76ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
98ralrimivva 2648 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X ) )
10 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
1110fmpt2 6207 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X )  <-> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X ) )
129, 11sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X ) )
13 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1413ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( y  e.  Y  /\  x  e.  X ) )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
1615ralrimivva 2648 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )
17 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1817fmpt2 6207 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y )  <-> 
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )
1916, 18sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )
20 txswaphmeolem 17511 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  o.  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )  =  (  _I  |`  ( Y  X.  X ) )
21 txswaphmeolem 17511 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
22 fcof1o 5819 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )  /\  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  o.  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )  =  (  _I  |`  ( Y  X.  X ) )  /\  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y
) ) ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
) ) )
2320, 21, 22mpanr12 666 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) --> ( Y  X.  X )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
) : ( Y  X.  X ) --> ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X
)  /\  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) ) )
2412, 19, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) : ( X  X.  Y ) -1-1-onto-> ( Y  X.  X
)  /\  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) ) )
2524simprd 449 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. ) )
262, 1cnmpt2nd 17379 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J
) )
272, 1cnmpt1st 17378 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  K
) )
282, 1, 26, 27cnmpt2t 17383 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  e.  (
( K  tX  J
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
2925, 28eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  `' (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  ( J  tX  K
) ) )
30 ishmeo 17466 . 2  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( ( J 
tX  K )  Homeo  ( K  tX  J ) )  <->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  ( K 
tX  J ) )  /\  `' ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  ( J 
tX  K ) ) ) )
315, 29, 30sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  e.  ( ( J  tX  K ) 
Homeo  ( K  tX  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656    _I cid 4320    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271    Homeo chmeo 17460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273  df-hmeo 17462
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