MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txswaphmeolem Unicode version

Theorem txswaphmeolem 17495
Description: Show inverse for the "swap components" operation on a cross product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeolem  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, X    x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4721 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
21ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
4 eqidd 2284 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
5 sneq 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  { z }  =  { <. y ,  x >. } )
65cnveqd 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  `' { z }  =  `' { <. y ,  x >. } )
76unieqd 3838 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. y ,  x >. } )
8 opswap 5159 . . . . . . . 8  |-  U. `' { <. y ,  x >. }  =  <. x ,  y >.
97, 8syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  <. x ,  y >. )
109mpt2mpt 5939 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1110eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X
)  |->  U. `' { z } )
1211a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
)  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } ) )
133, 4, 12, 9fmpt2co 6202 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y >. )
)
1413trud 1314 . 2  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. x ,  y >.
)
15 id 19 . . 3  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  =  <. x ,  y >. )
1615mpt2mpt 5939 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y
>. )
17 mptresid 5004 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
1814, 16, 173eqtr2i 2309 1  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693    e. cmpt2 5860
This theorem is referenced by:  txswaphmeo  17496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123
  Copyright terms: Public domain W3C validator