MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtop Unicode version

Theorem txtop 17562
Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )

Proof of Theorem txtop
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 17557 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 topbas 17000 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  ->  R  e. 
TopBases )
4 topbas 17000 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  ->  S  e. 
TopBases )
51txbas 17560 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
63, 4, 5syl2an 464 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
7 tgcl 16997 . . 3  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
92, 8eqeltrd 2486 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    X. cxp 4843   ran crn 4846   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   topGenctg 13628   Topctop 16921   TopBasesctb 16925    tX ctx 17553
This theorem is referenced by:  txtopi  17583  txtopon  17584  txcld  17596  neitx  17600  txlly  17629  txnlly  17630  txcmplem1  17634  txcmp  17636  hausdiag  17638  txhaus  17640  tx1stc  17643  txkgen  17645  xkococn  17653  xkoinjcn  17680  txcon  17682  imasnopn  17683  imasncls  17685  utop2nei  18241  utop3cls  18242  txpcon  24880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-topgen 13630  df-top 16926  df-bases 16928  df-tx 17555
  Copyright terms: Public domain W3C validator