MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtop Unicode version

Theorem txtop 17481
Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )

Proof of Theorem txtop
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 17476 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 topbas 16927 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  ->  R  e. 
TopBases )
4 topbas 16927 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  ->  S  e. 
TopBases )
51txbas 17479 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
63, 4, 5syl2an 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
7 tgcl 16924 . . 3  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
92, 8eqeltrd 2440 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1715    X. cxp 4790   ran crn 4793   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   topGenctg 13552   Topctop 16848   TopBasesctb 16852    tX ctx 17472
This theorem is referenced by:  txtopi  17502  txtopon  17503  txcld  17515  txlly  17547  txnlly  17548  txcmplem1  17552  txcmp  17554  hausdiag  17556  txhaus  17558  tx1stc  17561  txkgen  17563  xkococn  17571  xkoinjcn  17598  txcon  17600  txpcon  24487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-topgen 13554  df-top 16853  df-bases 16855  df-tx 17474
  Copyright terms: Public domain W3C validator