MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtop Structured version   Unicode version

Theorem txtop 17606
Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )

Proof of Theorem txtop
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
21txval 17601 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
3 topbas 17042 . . . 4  |-  ( R  e.  Top  ->  R  e. 
TopBases )
4 topbas 17042 . . . 4  |-  ( S  e.  Top  ->  S  e. 
TopBases )
51txbas 17604 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
63, 4, 5syl2an 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  TopBases )
7 tgcl 17039 . . 3  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  TopBases  -> 
( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  e.  Top )
92, 8eqeltrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    X. cxp 4879   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   topGenctg 13670   Topctop 16963   TopBasesctb 16967    tX ctx 17597
This theorem is referenced by:  txtopi  17627  txtopon  17628  txcld  17640  neitx  17644  txlly  17673  txnlly  17674  txcmplem1  17678  txcmp  17680  hausdiag  17682  txhaus  17684  tx1stc  17687  txkgen  17689  xkococn  17697  xkoinjcn  17724  txcon  17726  imasnopn  17727  imasncls  17729  utop2nei  18285  utop3cls  18286  txpcon  24924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-tx 17599
  Copyright terms: Public domain W3C validator