MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtopon Unicode version

Theorem txtopon 17286
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txtopon  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem txtopon
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16664 . . 3  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
2 topontop 16664 . . 3  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17264 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 463 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5 eqid 2283 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
85, 6, 7txuni2 17260 . . . 4  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
9 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
10 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
11 xpeq12 4708 . . . . 5  |-  ( ( X  =  U. R  /\  Y  =  U. S )  ->  ( X  X.  Y )  =  ( U. R  X.  U. S ) )
129, 10, 11syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  ( U. R  X.  U. S ) )
135txbasex 17261 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  _V )
14 unitg 16705 . . . . 5  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  _V  ->  U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) )  = 
U. ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  U. ( topGen `
 ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  U. ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
168, 12, 153eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
175txval 17259 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
1817unieqd 3838 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) ) )
1916, 18eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
20 istopon 16663 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  <-> 
( ( R  tX  S )  e.  Top  /\  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) ) )
214, 19, 20sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   topGenctg 13342   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  txuni  17287  txcls  17299  tx1cn  17303  tx2cn  17304  txcnp  17314  txcnmpt  17318  txindis  17328  txdis1cn  17329  txlm  17342  lmcn2  17343  xkococn  17354  cnmpt12  17361  cnmpt2c  17364  cnmpt21  17365  cnmpt2t  17367  cnmpt22  17368  cnmpt22f  17369  cnmpt2res  17371  cnmptcom  17372  cnmpt2k  17382  ptunhmeo  17499  xpstopnlem1  17500  xkocnv  17505  xkohmeo  17506  txflf  17701  flfcnp2  17702  cnmpt2plusg  17771  tmdcn2  17772  indistgp  17783  clssubg  17791  divstgplem  17803  prdstmdd  17806  tsmsadd  17829  cnmpt2vsca  17877  txmetcn  18094  cnmpt2ds  18348  fsum2cn  18375  cnmpt2pc  18426  htpyco2  18477  phtpyco2  18488  cnmpt2ip  18675  limccnp2  19242  dvcnp2  19269  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcobr  19295  lhop1lem  19360  taylthlem2  19753  cxpcn3  20088  tpr2tp  23287  txsconlem  23771  txscon  23772  cvmlift2lem11  23844  cvmlift2lem12  23845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-tx 17257
  Copyright terms: Public domain W3C validator