MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtopon Structured version   Unicode version

Theorem txtopon 17628
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
txtopon  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem txtopon
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16996 . . 3  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
2 topontop 16996 . . 3  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
3 txtop 17606 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
41, 2, 3syl2an 465 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  =  ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
6 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. R  =  U. R
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. S  =  U. S
85, 6, 7txuni2 17602 . . . 4  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )
9 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
10 toponuni 16997 . . . . 5  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
11 xpeq12 4900 . . . . 5  |-  ( ( X  =  U. R  /\  Y  =  U. S )  ->  ( X  X.  Y )  =  ( U. R  X.  U. S ) )
129, 10, 11syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  ( U. R  X.  U. S ) )
135txbasex 17603 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) )  e.  _V )
14 unitg 17037 . . . . 5  |-  ( ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) )  e.  _V  ->  U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) )  = 
U. ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  U. ( topGen `
 ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )  =  U. ran  (
u  e.  R , 
v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) )
168, 12, 153eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
175txval 17601 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  =  (
topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v ) ) ) )
1817unieqd 4028 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  U. ( R  tX  S )  = 
U. ( topGen `  ran  ( u  e.  R ,  v  e.  S  |->  ( u  X.  v
) ) ) )
1916, 18eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
20 istopon 16995 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  <-> 
( ( R  tX  S )  e.  Top  /\  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) ) )
214, 19, 20sylanbrc 647 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   U.cuni 4017    X. cxp 4879   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   topGenctg 13670   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    tX ctx 17597
This theorem is referenced by:  txuni  17629  txcls  17641  tx1cn  17646  tx2cn  17647  txcnp  17657  txcnmpt  17661  txindis  17671  txdis1cn  17672  txlm  17685  lmcn2  17686  xkococn  17697  cnmpt12  17704  cnmpt2c  17707  cnmpt21  17708  cnmpt2t  17710  cnmpt22  17711  cnmpt22f  17712  cnmpt2res  17714  cnmptcom  17715  cnmpt2k  17725  ptunhmeo  17845  xpstopnlem1  17846  xkocnv  17851  xkohmeo  17852  txflf  18043  flfcnp2  18044  cnmpt2plusg  18123  tmdcn2  18124  indistgp  18135  clssubg  18143  divstgplem  18155  prdstmdd  18158  tsmsadd  18181  cnmpt2vsca  18229  txmetcn  18583  cnmpt2ds  18879  fsum2cn  18906  cnmpt2pc  18958  htpyco2  19009  phtpyco2  19020  cnmpt2ip  19207  limccnp2  19784  dvcnp2  19811  dvaddbr  19829  dvmulbr  19830  dvcobr  19837  lhop1lem  19902  taylthlem2  20295  cxpcn3  20637  tpr2tp  24307  txsconlem  24932  txscon  24933  cvmlift2lem11  25005  cvmlift2lem12  25006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-tx 17599
  Copyright terms: Public domain W3C validator