Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtube Structured version   Unicode version

Theorem txtube 17664
 Description: The "tube lemma". If is compact and there is an open set containing the line , then there is a "tube" for some neighborhood of which is entirely contained within . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x
txtube.y
txtube.r
txtube.s
txtube.w
txtube.u
txtube.a
Assertion
Ref Expression
txtube
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem txtube
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3
2 txtube.u . . . . . . . 8
32adantr 452 . . . . . . 7
4 id 20 . . . . . . . 8
5 txtube.a . . . . . . . . 9
6 snidg 3831 . . . . . . . . 9
75, 6syl 16 . . . . . . . 8
8 opelxpi 4902 . . . . . . . 8
94, 7, 8syl2anr 465 . . . . . . 7
103, 9sseldd 3341 . . . . . 6
11 txtube.w . . . . . . . 8
12 txtube.s . . . . . . . . 9
13 eltx 17592 . . . . . . . . 9
141, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . 8
1511, 14mpbid 202 . . . . . . 7
1615adantr 452 . . . . . 6
17 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
1817anbi1d 686 . . . . . . . 8
19182rexbidv 2740 . . . . . . 7
2019rspcv 3040 . . . . . 6
2110, 16, 20sylc 58 . . . . 5
22 opelxp 4900 . . . . . . . . . 10
2322anbi1i 677 . . . . . . . . 9
24 anass 631 . . . . . . . . 9
2523, 24bitri 241 . . . . . . . 8
2625rexbii 2722 . . . . . . 7
27 r19.42v 2854 . . . . . . 7
2826, 27bitri 241 . . . . . 6
2928rexbii 2722 . . . . 5
3021, 29sylib 189 . . . 4
3130ralrimiva 2781 . . 3
32 txtube.x . . . 4
33 eleq2 2496 . . . . 5
34 xpeq2 4885 . . . . . 6
3534sseq1d 3367 . . . . 5
3633, 35anbi12d 692 . . . 4
3732, 36cmpcovf 17446 . . 3
381, 31, 37syl2anc 643 . 2
39 rint0 4082 . . . . . . . . . 10
4039adantl 453 . . . . . . . . 9
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12
4241topopn 16971 . . . . . . . . . . 11
4312, 42syl 16 . . . . . . . . . 10
4443ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9
4540, 44eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
4612ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13
47 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
52 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . . 16
53 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5452, 53sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5647, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
57 dffn4 5651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 fofi 7384 . . . . . . . . . . . . . . 15
6054, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
62 fiinopn 16966 . . . . . . . . . . . . . 14
6362imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . 12
65 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11
6766, 41syl6sseqr 3387 . . . . . . . . . 10
68 dfss1 3537 . . . . . . . . . 10
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . 9
7069, 64eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
7145, 70pm2.61dane 2676 . . . . . . 7
725ad2antrr 707 . . . . . . . 8
73 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11
74 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12
7574ralimi 2773 . . . . . . . . . . 11
7673, 75syl 16 . . . . . . . . . 10
77 eliin 4090 . . . . . . . . . . 11
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . 10
7976, 78mpbird 224 . . . . . . . . 9
80 fniinfv 5777 . . . . . . . . . 10
8156, 80syl 16 . . . . . . . . 9
8279, 81eleqtrd 2511 . . . . . . . 8
83 elin 3522 . . . . . . . 8
8472, 82, 83sylanbrc 646 . . . . . . 7
85 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
86 uniiun 4136 . . . . . . . . . . 11
8785, 86syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10
8887xpeq1d 4893 . . . . . . . . 9
89 xpiundir 4925 . . . . . . . . 9
9088, 89syl6eq 2483 . . . . . . . 8
91 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
9291ralimi 2773 . . . . . . . . . . 11
9373, 92syl 16 . . . . . . . . . 10
94 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . 13
9580adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
96 iinss2 4135 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
9895, 97eqsstr3d 3375 . . . . . . . . . . . . 13
9994, 98syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . 12
100 xpss2 4977 . . . . . . . . . . . 12
101 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . 12
10299, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . . . 11
103102ralimdva 2776 . . . . . . . . . 10
10456, 93, 103sylc 58 . . . . . . . . 9
105 iunss 4124 . . . . . . . . 9
106104, 105sylibr 204 . . . . . . . 8
10790, 106eqsstrd 3374 . . . . . . 7
108 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
109 xpeq2 4885 . . . . . . . . . 10
110109sseq1d 3367 . . . . . . . . 9
111108, 110anbi12d 692 . . . . . . . 8
112111rspcev 3044 . . . . . . 7
11371, 84, 107, 112syl12anc 1182 . . . . . 6
114113expr 599 . . . . 5
115114exlimdv 1646 . . . 4
116115expimpd 587 . . 3
117116rexlimdva 2822 . 2
11838, 117mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  c0 3620  cpw 3791  csn 3806  cop 3809  cuni 4007  cint 4042  ciun 4085  ciin 4086   cxp 4868   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  wfo 5444  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  ctop 16950  ccmp 17441   ctx 17584 This theorem is referenced by:  txcmplem1  17665  xkoinjcn  17711  cvmlift2lem12  24993 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-topgen 13659  df-top 16955  df-cmp 17442  df-tx 17586
 Copyright terms: Public domain W3C validator