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Theorem txtube 17350
Description: The "tube lemma". If  X is compact and there is an open set  U containing the line  X  X.  { A }, then there is a "tube"  X  X.  u for some neighborhood  u of  A which is entirely contained within  U. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x  |-  X  = 
U. R
txtube.y  |-  Y  = 
U. S
txtube.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
txtube.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
txtube.w  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
txtube.u  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
txtube.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
txtube  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Distinct variable groups:    u, A    u, R    u, S    u, Y    ph, u    u, U    u, X

Proof of Theorem txtube
Dummy variables  t 
f  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Comp )
2 txtube.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { A } )  C_  U
)
32adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( X  X.  { A }
)  C_  U )
4 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  X )
5 txtube.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  Y )
6 snidg 3678 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Y  ->  A  e.  { A } )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  { A } )
8 opelxpi 4737 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  { A } )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
94, 7, 8syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  ( X  X.  { A }
) )
103, 9sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. x ,  A >.  e.  U
)
11 txtube.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  ( R 
tX  S ) )
12 txtube.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
13 eltx 17279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  S  e.  Top )  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
141, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( R  tX  S )  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
1511, 14mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
17 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( y  e.  ( u  X.  v
)  <->  <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v ) ) )
1817anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( ( y  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U )  <->  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
19182rexbidv 2599 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. x ,  A >.  ->  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( y  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2019rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  E. u  e.  R  E. v  e.  S  (
y  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2110, 16, 20sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v )  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) )
22 opelxp 4735 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  <->  ( x  e.  u  /\  A  e.  v ) )
2322anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v )  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) )
24 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  u  /\  A  e.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2523, 24bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2625rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
) ) )
27 r19.42v 2707 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  S  ( x  e.  u  /\  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2826, 27bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  S  (
<. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
2928rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  R  E. v  e.  S  ( <. x ,  A >.  e.  ( u  X.  v
)  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
3021, 29sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  (
u  X.  v ) 
C_  U ) ) )
3130ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  R  ( x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )
32 txtube.x . . . 4  |-  X  = 
U. R
33 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  ( f `  u
) ) )
34 xpeq2 4720 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  X.  v )  =  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
3534sseq1d 3218 . . . . 5  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( u  X.  v
)  C_  U  <->  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
3633, 35anbi12d 691 . . . 4  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( A  e.  v  /\  ( u  X.  v )  C_  U
)  <->  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )
3732, 36cmpcovf 17134 . . 3  |-  ( ( R  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. u  e.  R  (
x  e.  u  /\  E. v  e.  S  ( A  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  U )
) )  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
381, 31, 37syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) ) )
39 rint0 3918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  =  (/)  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
4039adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  Y )
41 txtube.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  = 
U. S
4241topopn 16668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  Y  e.  S )
4312, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
4443ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
4540, 44eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
4612ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  S  e. 
Top )
47 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t --> S )
48 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : t --> S  ->  ran  f  C_  S )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  C_  S )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  C_  S )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
52 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P R  i^i  Fin )  C_ 
Fin
53 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )
5452, 53sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  t  e.  Fin )
55 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : t --> S  -> 
f  Fn  t )
5647, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f  Fn  t
)
57 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
5856, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  f : t
-onto->
ran  f )
59 fofi 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
6054, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ran  f  e.  Fin )
62 fiinopn 16663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Top  ->  (
( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e. 
Fin )  ->  |^| ran  f  e.  S )
)
6362imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( ran  f  C_  S  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e.  Fin )
)  ->  |^| ran  f  e.  S )
6446, 50, 51, 61, 63syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  e.  S )
65 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| ran  f  e.  S  ->  |^| ran  f  C_  U. S
)
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  U. S )
6766, 41syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  |^| ran  f  C_  Y )
68 dfss1 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( |^| ran  f  C_  Y  <->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
6967, 68sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  =  |^| ran  f
)
7069, 64eqeltrd 2370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  = 
U. t  /\  (
f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  /\  ran  f  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S )
7145, 70pm2.61dane 2537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  e.  S )
725ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  Y
)
73 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )
74 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  A  e.  ( f `
 u ) )
7574ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u ) )
7673, 75syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) )
77 eliin 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `  u
) ) )
7872, 77syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( A  e. 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  <->  A. u  e.  t  A  e.  ( f `
 u ) ) )
7976, 78mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^|_ u  e.  t  ( f `
 u ) )
80 fniinfv 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  =  |^| ran  f )
8156, 80syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u
)  =  |^| ran  f )
8279, 81eleqtrd 2372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  |^| ran  f )
83 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  <->  ( A  e.  Y  /\  A  e. 
|^| ran  f )
)
8472, 82, 83sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
85 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U. t )
86 uniiun 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  U. t  =  U_ u  e.  t  u
8785, 86syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  X  =  U_ u  e.  t  u
)
8887xpeq1d 4728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  =  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
89 xpiundir 4760 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )
9088, 89syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  = 
U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) ) )
91 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 u )  /\  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )  ->  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9291ralimi 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U )  ->  A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
9373, 92syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U )
94 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  i^i  |^| ran  f ) 
C_  |^| ran  f
9580adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  =  |^| ran  f )
96 iinss2 3970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  t  ->  |^|_ u  e.  t  ( f `  u )  C_  (
f `  u )
)
9796adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  -> 
|^|_ u  e.  t 
( f `  u
)  C_  ( f `  u ) )
9895, 97eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  |^| ran  f  C_  ( f `  u
) )
9994, 98syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )
)
100 xpss2 4812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  C_  (
f `  u )  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) ) )
101 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  ( u  X.  ( f `  u
) )  ->  (
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U  ->  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
103102ralimdva 2634 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  t  ->  ( A. u  e.  t 
( u  X.  (
f `  u )
)  C_  U  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
10456, 93, 103sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
105 iunss 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ u  e.  t  (
u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U  <->  A. u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
106104, 105sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  U_ u  e.  t  ( u  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
10790, 106eqsstrd 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
108 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( A  e.  u  <->  A  e.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
109 xpeq2 4720 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( X  X.  u
)  =  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) )
110109sseq1d 3218 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( X  X.  u )  C_  U  <->  ( X  X.  ( Y  i^i  |^| ran  f ) )  C_  U )
)
111108, 110anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( Y  i^i  |^|
ran  f )  -> 
( ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U )  <->  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) ) )
112111rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  i^i  |^| ran  f )  e.  S  /\  ( A  e.  ( Y  i^i  |^| ran  f )  /\  ( X  X.  ( Y  i^i  |^|
ran  f ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
11371, 84, 107, 112syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  ( X  =  U. t  /\  ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
114113expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
115114exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  /\  X  =  U. t )  -> 
( E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
116115expimpd 586 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u
)  /\  ( u  X.  ( f `  u
) )  C_  U
) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
) )
117116rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( ~P R  i^i  Fin ) ( X  = 
U. t  /\  E. f ( f : t --> S  /\  A. u  e.  t  ( A  e.  ( f `  u )  /\  (
u  X.  ( f `
 u ) ) 
C_  U ) ) )  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u )  C_  U ) ) )
11838, 117mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  S  ( A  e.  u  /\  ( X  X.  u
)  C_  U )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843   |^|cint 3878   U_ciun 3921   |^|_ciin 3922    X. cxp 4703   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Topctop 16647   Compccmp 17129    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  txcmplem1  17351  xkoinjcn  17397  cvmlift2lem12  23860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-topgen 13360  df-top 16652  df-cmp 17130  df-tx 17273
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