MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Unicode version

Theorem txuni 17393
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1  |-  X  = 
U. R
txuni.2  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
txuni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. R
21toptopon 16777 . . 3  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txuni.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 16777 . . 3  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txtopon 17392 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
62, 4, 5syl2anb 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7 toponuni 16771 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
86, 7syl 15 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   U.cuni 3908    X. cxp 4769   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Topctop 16737  TopOnctopon 16738    tX ctx 17361
This theorem is referenced by:  txunii  17394  txcld  17404  uptx  17425  txcn  17426  txdis  17432  txnlly  17437  txcmp  17443  txcmpb  17444  hausdiag  17445  txhaus  17447  tx1stc  17450  txkgen  17452  txcon  17489  sxbrsigalem1  23899  txpcon  24167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-topgen 13443  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-tx 17363
  Copyright terms: Public domain W3C validator