MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Unicode version

Theorem txuni 17287
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1  |-  X  = 
U. R
txuni.2  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
txuni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. R
21toptopon 16671 . . 3  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
3 txuni.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. S
43toptopon 16671 . . 3  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
5 txtopon 17286 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
62, 4, 5syl2anb 465 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
7 toponuni 16665 . 2  |-  ( ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
86, 7syl 15 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  txunii  17288  txcld  17298  uptx  17319  txcn  17320  txdis  17326  txnlly  17331  txcmp  17337  txcmpb  17338  hausdiag  17339  txhaus  17341  tx1stc  17344  txkgen  17346  txcon  17383  txpcon  23763  prdnei  25573  limptlimpr2lem1  25574  limptlimpr2lem2  25575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-tx 17257
  Copyright terms: Public domain W3C validator