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Theorem txuni2 17477
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
txuni2.1  |-  X  = 
U. R
txuni2.2  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
txuni2  |-  ( X  X.  Y )  = 
U. B
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txuni2
Dummy variables  r 
s  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4897 . . 3  |-  Rel  ( X  X.  Y )
2 txuni2.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. R
32eleq2i 2430 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  <->  z  e.  U. R )
4 eluni2 3933 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U. R  <->  E. r  e.  R  z  e.  r )
53, 4bitri 240 . . . . . 6  |-  ( z  e.  X  <->  E. r  e.  R  z  e.  r )
6 txuni2.2 . . . . . . . 8  |-  Y  = 
U. S
76eleq2i 2430 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  Y  <->  w  e.  U. S )
8 eluni2 3933 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  U. S  <->  E. s  e.  S  w  e.  s )
97, 8bitri 240 . . . . . 6  |-  ( w  e.  Y  <->  E. s  e.  S  w  e.  s )
105, 9anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  w  e.  Y )  <->  ( E. r  e.  R  z  e.  r  /\  E. s  e.  S  w  e.  s ) )
11 opelxp 4822 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  ( z  e.  X  /\  w  e.  Y ) )
12 reeanv 2792 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
z  e.  r  /\  w  e.  s )  <->  ( E. r  e.  R  z  e.  r  /\  E. s  e.  S  w  e.  s ) )
1310, 11, 123bitr4i 268 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  <->  E. r  e.  R  E. s  e.  S  ( z  e.  r  /\  w  e.  s ) )
14 opelxp 4822 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( z  e.  r  /\  w  e.  s ) )
15 eqid 2366 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  s
)
16 xpeq1 4806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  r  ->  (
x  X.  y )  =  ( r  X.  y ) )
1716eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  r  ->  (
( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  y ) ) )
18 xpeq2 4807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  s  ->  (
r  X.  y )  =  ( r  X.  s ) )
1918eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  s  ->  (
( r  X.  s
)  =  ( r  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( r  X.  s ) ) )
2017, 19rspc2ev 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S  /\  ( r  X.  s
)  =  ( r  X.  s ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y ) )
2115, 20mp3an3 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s
)  =  ( x  X.  y ) )
22 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
23 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  s  e. 
_V
2422, 23xpex 4904 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
25 eqeq1 2372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
z  =  ( x  X.  y )  <->  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) ) )
26252rexbidv 2671 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) ) )
27 txval.1 . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
28 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2928rnmpt2 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { z  |  E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y ) }
3027, 29eqtri 2386 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  { z  |  E. x  e.  R  E. y  e.  S  z  =  ( x  X.  y ) }
3124, 26, 30elab2 3002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  X.  s )  e.  B  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( r  X.  s )  =  ( x  X.  y ) )
3221, 31sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( r  X.  s
)  e.  B )
33 elssuni 3957 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  X.  s )  e.  B  ->  (
r  X.  s ) 
C_  U. B )
3432, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( r  X.  s
)  C_  U. B )
3534sseld 3265 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( r  X.  s )  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
) )
3614, 35syl5bir 209 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  R  /\  s  e.  S )  ->  ( ( z  e.  r  /\  w  e.  s )  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
) )
3736rexlimivv 2757 . . . 4  |-  ( E. r  e.  R  E. s  e.  S  (
z  e.  r  /\  w  e.  s )  -> 
<. z ,  w >.  e. 
U. B )
3813, 37sylbi 187 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( X  X.  Y
)  ->  <. z ,  w >.  e.  U. B
)
391, 38relssi 4881 . 2  |-  ( X  X.  Y )  C_  U. B
40 elssuni 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  R  ->  x  C_ 
U. R )
4140, 2syl6sseqr 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R  ->  x  C_  X )
42 elssuni 3957 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  S  ->  y  C_ 
U. S )
4342, 6syl6sseqr 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  y  C_  Y )
44 xpss12 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  X  /\  y  C_  Y )  -> 
( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
4541, 43, 44syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( x  X.  y
)  C_  ( X  X.  Y ) )
46 vex 2876 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
47 vex 2876 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
4846, 47xpex 4904 . . . . . . . . 9  |-  ( x  X.  y )  e. 
_V
4948elpw 3720 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y )  <->  ( x  X.  y )  C_  ( X  X.  Y ) )
5045, 49sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( x  X.  y
)  e.  ~P ( X  X.  Y ) )
5150rgen2 2724 . . . . . 6  |-  A. x  e.  R  A. y  e.  S  ( x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y
)
5228fmpt2 6318 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  R  A. y  e.  S  (
x  X.  y )  e.  ~P ( X  X.  Y )  <->  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S
) --> ~P ( X  X.  Y ) )
5351, 52mpbi 199 . . . . 5  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S ) --> ~P ( X  X.  Y )
54 frn 5501 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) : ( R  X.  S ) --> ~P ( X  X.  Y
)  ->  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) 
C_  ~P ( X  X.  Y ) )
5553, 54ax-mp 8 . . . 4  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  C_  ~P ( X  X.  Y )
5627, 55eqsstri 3294 . . 3  |-  B  C_  ~P ( X  X.  Y
)
57 sspwuni 4089 . . 3  |-  ( B 
C_  ~P ( X  X.  Y )  <->  U. B  C_  ( X  X.  Y
) )
5856, 57mpbi 199 . 2  |-  U. B  C_  ( X  X.  Y
)
5939, 58eqssi 3281 1  |-  ( X  X.  Y )  = 
U. B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   {cab 2352   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   <.cop 3732   U.cuni 3929    X. cxp 4790   ran crn 4793   -->wf 5354    e. cmpt2 5983
This theorem is referenced by:  txbasex  17478  txtopon  17503  sxsigon  24132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250
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