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Theorem tz6.12-afv 28035
Description: Function value (Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, , analogous to tz6.12-1 5544, but it is required for A to be a set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-afv  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A F y  /\  E! y  A F y )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, F
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem tz6.12-afv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
2 breldmg 4884 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  _V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
31, 2mp3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
4 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
5 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
6 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  x  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
76eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
87eubidv 2151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y  A F
y  <->  E! y  x F y ) )
98biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y  A F
y  ->  E! y  x F y ) )
105, 9sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( E! y  A F y  ->  E! y  x F y ) )
1110com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E! y  A F y  ->  ( x  e. 
{ A }  ->  E! y  x F y ) )
1211adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y  A F y )  ->  (
x  e.  { A }  ->  E! y  x F y ) )
1312ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y  A F y )  ->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
14 fnres 5360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  <->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
15 fnfun 5341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  ->  Fun  ( F  |`  { A }
) )
1614, 15sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  { A } E! y  x F y  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
1713, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y  A F y )  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
184, 17jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y  A F y )  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
1918ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  F  -> 
( E! y  A F y  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
203, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  A F y )  -> 
( E! y  A F y  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
2120impr 602 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) )
22 df-dfat 27974 . . . . 5  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
23 afvfundmfveq 28001 . . . . 5  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
2422, 23sylbir 204 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
2521, 24syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( F''' A )  =  ( F `  A ) )
26 tz6.12-1 5544 . . . 4  |-  ( ( A F y  /\  E! y  A F
y )  ->  ( F `  A )  =  y )
2726adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( F `  A
)  =  y )
2825, 27eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A F y  /\  E! y  A F
y ) )  -> 
( F''' A )  =  y )
2928ex 423 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
( A F y  /\  E! y  A F y )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143   A.wral 2543   _Vcvv 2788   {csn 3640   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   defAt wdfat 27971  '''cafv 27972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-dfat 27974  df-afv 27975
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