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Theorem tz6.12-afv 28015
Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, analogous to tz6.12 5750. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
tz6.12-afv  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Distinct variable groups:    y, A    y, F

Proof of Theorem tz6.12-afv
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  _V )
2 vex 2961 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
32a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  _V )
4 df-br 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
54biimpri 199 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  y >.  e.  F  ->  A F
y )
65adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A F y )
7 breldmg 5077 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  y  e.  _V  /\  A F y )  ->  A  e.  dom  F )
81, 3, 6, 7syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
9 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A  e.  dom  F )
10 elsn 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
11 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  x  ->  ( A F y  <->  x F
y ) )
124, 11syl5bbr 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  x  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1312eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  A  ->  ( <. A ,  y >.  e.  F  <->  x F y ) )
1413eubidv 2291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  <->  E! y  x F y ) )
1514biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1610, 15sylbi 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { A }  ->  ( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  E! y  x F y ) )
1716com12 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  (
x  e.  { A }  ->  E! y  x F y ) )
1817adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( x  e. 
{ A }  ->  E! y  x F y ) )
1918ralrimiv 2790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
20 fnres 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  <->  A. x  e.  { A } E! y  x F y )
21 fnfun 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  |`  { A } )  Fn  { A }  ->  Fun  ( F  |`  { A }
) )
2220, 21sylbir 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  { A } E! y  x F y  ->  Fun  ( F  |`  { A } ) )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  Fun  ( F  |` 
{ A } ) )
249, 23jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  E! y <. A , 
y >.  e.  F )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
2524ex 425 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  F  -> 
( E! y <. A ,  y >.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
268, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  <. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) ) ) )
2726impr 604 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
28 df-dfat 27952 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  <->  ( A  e. 
dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A }
) ) )
29 afvfundmfveq 27980 . . . . . 6  |-  ( F defAt 
A  ->  ( F''' A )  =  ( F `
 A ) )
3028, 29sylbir 206 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  F  /\  Fun  ( F  |`  { A } ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
3127, 30syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  ( F `  A ) )
32 tz6.12 5750 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F `  A )  =  y )
3332adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F `  A )  =  y )
3431, 33eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F ) )  ->  ( F''' A )  =  y )
3534ex 425 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
36 eu2ndop1stv 27958 . . . . 5  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  A  e.  _V )
3736pm2.24d 138 . . . 4  |-  ( E! y <. A ,  y
>.  e.  F  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3837adantl 454 . . 3  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F''' A )  =  y ) )
3938com12 30 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( <. A ,  y
>.  e.  F  /\  E! y <. A ,  y
>.  e.  F )  -> 
( F''' A )  =  y ) )
4035, 39pm2.61i 159 1  |-  ( (
<. A ,  y >.  e.  F  /\  E! y
<. A ,  y >.  e.  F )  ->  ( F''' A )  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E!weu 2283   A.wral 2707   _Vcvv 2958   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4214   dom cdm 4880    |` cres 4882   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   ` cfv 5456   defAt wdfat 27949  '''cafv 27950
This theorem is referenced by:  tz6.12-1-afv  28016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-res 4892  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-fv 5464  df-dfat 27952  df-afv 27953
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