Theorem tz6.12f 3738

Description: Function value, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypothesis

Ref	Expression
tz6.12f.1	|- (w e. F -> A.y w e. F)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12f	|- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Distinct variable groups:   x,y,w   w,F

Proof of Theorem tz6.12f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. 2 |- (((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y) -> A.z((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y))
2		opeq2 2488	. . . . 5 |- (z = y -> <.x, z>. = <.x, y>.)
3	2	eleq1d 1540	. . . 4 |- (z = y -> (<.x, z>. e. F <-> <.x, y>. e. F))
4		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. <.x, z>. -> A.y w e. <.x, z>.)
5		tz6.12f.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.y w e. F)
6	4, 5	hbel 1566	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. F -> A.y<.x, z>. e. F)
7		ax-17 971	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. F -> A.z<.x, y>. e. F)
8	6, 7, 3	cbveu 1391	. . . . 5 |- (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F)
9	8	a1i 8	. . . 4 |- (z = y -> (E!z<.x, z>. e. F <-> E!y<.x, y>. e. F))
10	3, 9	anbi12d 628	. . 3 |- (z = y -> ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) <-> (<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F)))
11		eqeq2 1484	. . 3 |- (z = y -> ((F` x) = z <-> (F` x) = y))
12	10, 11	imbi12d 626	. 2 |- (z = y -> (((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z) <-> ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)))
13		visset 1813	. . 3 |- x e. V
14	13	tz6.12 3737	. 2 |- ((<.x, z>. e. F /\ E!z<.x, z>. e. F) -> (F` x) = z)
15	1, 12, 14	chvar 1167	1 |- ((<.x, y>. e. F /\ E!y<.x, y>. e. F) -> (F` x) = y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E!weu 1380  <.cop 2411  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvopab2 3791

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain