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Theorem tz7.48lem 6469
Description: A way of showing an ordinal function is one-to-one. (Contributed by NM, 9-Feb-1997.)
Hypothesis
Ref Expression
tz7.48.1  |-  F  Fn  On
Assertion
Ref Expression
tz7.48lem  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Distinct variable groups:    y, A, x    x, F, y    x, A

Proof of Theorem tz7.48lem
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r2al 2593 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
2 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )
32anim1i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  x )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  x )
)
43imim1i 54 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
54exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x
)  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
652alimi 1550 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
71, 6sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
8 r2al 2593 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
97, 8sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
10 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  x  <->  w  e.  x ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1211eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1312notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1410, 13imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  <->  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) ) )
1514cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
1615ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) ) )
17 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1918eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2019notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
2117, 20imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2221ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w  e.  A  ( w  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )  <->  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
2322cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. w  e.  A  ( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
24 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  ( F `  w )  =  ( F `  x ) )
2625eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2726notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
2824, 27imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )  <->  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) ) )
2928cbvralv 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
3029ralbii 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. z  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) ) )
31 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
32 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3433notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3531, 34imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3635ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( A. x  e.  A  ( x  e.  z  ->  -.  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) ) )
3736cbvralv 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 x ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3830, 37bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  A. w  e.  A  (
w  e.  z  ->  -.  ( F `  z
)  =  ( F `
 w ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
3916, 23, 383bitri 262 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
40 ralcom2 2717 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4139, 40sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) ) )
4241ancri 535 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
43 r19.26-2 2689 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <-> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) ) ) )
4442, 43sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
y  e.  x  ->  -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
459, 44syl 15 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
46 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
47 fvres 5558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
4846, 47eqeqan12d 2311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
50 ssel 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  On ) )
51 ssel 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  On ) )
5250, 51anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On ) ) )
53 pm3.48 806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  ( -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x )  \/ 
-.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )
54 oridm 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
55 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5655notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
5756orbi1i 506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  \/  -.  ( F `
 x )  =  ( F `  y
) )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5854, 57bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( -.  ( F `  y )  =  ( F `  x )  \/  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
5953, 58syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
6059con2d 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
61 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
62 eloni 4418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
63 ordtri3 4444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  =  y  <->  -.  (
x  e.  y  \/  y  e.  x ) ) )
6463biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x
)  ->  x  =  y ) )
6561, 62, 64syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( -.  ( x  e.  y  \/  y  e.  x )  ->  x  =  y ) )
6660, 65syl9r 67 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
6752, 66syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
6867imp32 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
6949, 68sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )
7069exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
7170a2d 23 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) ) )
72712alimdv 1613 . . . . 5  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) )  ->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) ) )
73 r2al 2593 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  ->  -.  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) ) ) )
74 r2al 2593 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7572, 73, 743imtr4g 261 . . . 4  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( x  e.  y  ->  -.  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )  /\  ( y  e.  x  ->  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
7645, 75syl5 28 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
( F  |`  A ) `
 x )  =  ( ( F  |`  A ) `  y
)  ->  x  =  y ) ) )
7776imdistani 671 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  -> 
( A  C_  On  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) ) )
78 tz7.48.1 . . . 4  |-  F  Fn  On
79 fnssres 5373 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  On  /\  A  C_  On )  -> 
( F  |`  A )  Fn  A )
8078, 79mpan 651 . . 3  |-  ( A 
C_  On  ->  ( F  |`  A )  Fn  A
)
81 dffn2 5406 . . . 4  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( F  |`  A ) : A --> _V )
82 dff13 5799 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( ( F  |`  A ) `  x )  =  ( ( F  |`  A ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
83 df-f1 5276 . . . . . 6  |-  ( ( F  |`  A ) : A -1-1-> _V  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8482, 83bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  Fun  `' ( F  |`  A )
) )
8584simprbi 450 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A ) : A --> _V  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8681, 85sylanb 458 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  A )  Fn  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8780, 86sylan 457 . 2  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ( F  |`  A ) `  x
)  =  ( ( F  |`  A ) `  y )  ->  x  =  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
8877, 87syl 15 1  |-  ( ( A  C_  On  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  x  -.  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  Fun  `' ( F  |`  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   Ord word 4407   Oncon0 4408   `'ccnv 4704    |` cres 4707   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  tz7.48-2  6470  tz7.49  6473  abianfp  6487  zorn2lem4  8142
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279
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