Theorem tz9.1 4646

Description: Every set has a transitive closure (smallest transitive extension). Theorem 9.1 of [TakeutiZaring] p. 73. See trcl 4645 for an explicit expression for the transitive closure.

Hypothesis

Ref	Expression
tz9.1.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
tz9.1	|- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem tz9.1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.1.1	. . 3 |- A e. V
2		eqid 1475	. . 3 |- (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om) = (rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)
3		eqid 1475	. . 3 |- U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)
4	1, 2, 3	trcl 4645	. 2 |- (A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
5		omex 4627	. . . 4 |- om e. V
6		fvex 3732	. . . 4 |- ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
7	5, 6	iunex 3863	. . 3 |- U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) e. V
8		sseq2 2083	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A (_ x <-> A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
9		treq 2686	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (Tr x <-> Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z)))
10		sseq1 2082	. . . . . 6 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (x (_ y <-> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))
11	10	imbi2d 612	. . . . 5 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> ((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
12	11	albidv 1278	. . . 4 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> (A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y) <-> A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)))
13	8, 9, 12	3anbi123d 893	. . 3 |- (x = U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) -> ((A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)) <-> (A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y))))
14	7, 13	cla4ev 1869	. 2 |- ((A (_ U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ Tr U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> U_z e. om ((rec({<.w, v>. | v = (w u. U.w)}, A) |` om)` z) (_ y)) -> E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y)))
15	4, 14	ax-mp 7	1 |- E.x(A (_ x /\ Tr x /\ A.y((A (_ y /\ Tr y) -> x (_ y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811   u. cun 2045   (_ wss 2047  U.cuni 2503  U_ciun 2566  {copab 2666  Tr wtr 2680  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  zfregs 4647

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain