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Theorem tz9.12lem3 7715
Description: Lemma for tz9.12 7716. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1  |-  A  e. 
_V
tz9.12lem.2  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
21funmpt2 5490 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  F
3 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( R1 `  v )  =  ( R1 `  y
) )
43eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
54rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v ) )
6 rabn0 3647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v
) )
75, 6sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )
8 intex 4356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
10 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  v ) ) )
1211rabbidv 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1312inteqd 4055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1413eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
151dmmpt 5365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  F  =  { z  e.  _V  |  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) }  e.  _V }
1614, 15elrab2 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  F  <->  ( x  e.  _V  /\  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
1710, 16mpbiran 885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  F  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
189, 17sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  dom  F )
19 funfvima 5973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
202, 18, 19sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
21 tz9.12lem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2221, 1tz9.12lem2 7714 . . . . . . . . . 10  |-  suc  U. ( F " A )  e.  On
2321, 1tz9.12lem1 7713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" A )  C_  On
24 onsucuni 4808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " A ) 
C_  On  ->  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A )
2625sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( F `  x )  e.  suc  U. ( F
" A ) )
27 r1ord2 7707 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( ( F `  x
)  e.  suc  U. ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
2822, 26, 27mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
2920, 28syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  ( F `  x )
)  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
3029imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( R1 `  ( F `  x
) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
3113, 1fvmptg 5804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )  -> 
( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3210, 31mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  ->  ( F `  x )  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
338, 32sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
34 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  C_  On
35 onint 4775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } 
C_  On  /\  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3634, 35mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  e.  {
v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3733, 36eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
38 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( F `  x )
) )
3938eleq2d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) ) )
404cbvrabv 2955 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =  { y  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  y ) }
4139, 40elrab2 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  <->  ( ( F `  x )  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) ) )
4241simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) )
437, 37, 423syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x
) ) )
4443adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) )
4530, 44sseldd 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
4645exp31 588 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( R1
`  suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4746com3r 75 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  On  ->  ( x  e.  ( R1
`  y )  ->  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4847rexlimdv 2829 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A
) ) ) )
4948ralimia 2779 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
50 r1suc 7696 . . . . 5  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) )  =  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5122, 50ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  suc  U. ( F " A ) )  =  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )
5251eleq2i 2500 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <-> 
A  e.  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5321elpw 3805 . . 3  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )  <-> 
A  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
54 dfss3 3338 . . 3  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5552, 53, 543bitri 263 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
5649, 55sylibr 204 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   |^|cint 4050    e. cmpt 4266   Oncon0 4581   suc csuc 4583   dom cdm 4878   "cima 4881   Fun wfun 5448   ` cfv 5454   R1cr1 7688
This theorem is referenced by:  tz9.12  7716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690
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