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Theorem tz9.12lem3 7477
Description: Lemma for tz9.12 7478. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tz9.12lem.1  |-  A  e. 
_V
tz9.12lem.2  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
Assertion
Ref Expression
tz9.12lem3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, v, A    x, F, y
Allowed substitution hints:    F( z, v)

Proof of Theorem tz9.12lem3
StepHypRef Expression
1 tz9.12lem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( z  e.  _V  |->  |^|
{ v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) } )
21funmpt2 5307 . . . . . . . . . 10  |-  Fun  F
3 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  y  ->  ( R1 `  v )  =  ( R1 `  y
) )
43eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  y  ->  (
x  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
54rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v ) )
6 rabn0 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  On  x  e.  ( R1 `  v
) )
75, 6sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )
8 intex 4183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
10 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
11 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  ( R1
`  v )  <->  x  e.  ( R1 `  v ) ) )
1211rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1312inteqd 3883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
1413eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
151dmmpt 5184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  F  =  { z  e.  _V  |  |^| { v  e.  On  |  z  e.  ( R1 `  v
) }  e.  _V }
1614, 15elrab2 2938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  dom  F  <->  ( x  e.  _V  /\  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V ) )
1710, 16mpbiran 884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  F  <->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )
189, 17sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  dom  F )
19 funfvima 5769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
202, 18, 19sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  e.  ( F
" A ) ) )
21 tz9.12lem.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2221, 1tz9.12lem2 7476 . . . . . . . . . 10  |-  suc  U. ( F " A )  e.  On
2321, 1tz9.12lem1 7475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" A )  C_  On
24 onsucuni 4635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F " A ) 
C_  On  ->  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" A )  C_  suc  U. ( F " A )
2625sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( F `  x )  e.  suc  U. ( F
" A ) )
27 r1ord2 7469 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( ( F `  x
)  e.  suc  U. ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
2822, 26, 27mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( F " A )  ->  ( R1 `  ( F `  x ) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
2920, 28syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( R1 `  ( F `  x )
)  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) )
3029imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( R1 `  ( F `  x
) )  C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
3113, 1fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  _V  /\  |^|
{ v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V )  -> 
( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3210, 31mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  _V  ->  ( F `  x )  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
338, 32sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  =  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
34 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  C_  On
35 onint 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } 
C_  On  /\  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3634, 35mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  |^| { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  e.  {
v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
3733, 36eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =/=  (/) 
->  ( F `  x
)  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) } )
38 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  ( R1 `  y )  =  ( R1 `  ( F `  x )
) )
3938eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  x )  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) ) )
404cbvrabv 2800 . . . . . . . . . . 11  |-  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v ) }  =  { y  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  y ) }
4139, 40elrab2 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  <->  ( ( F `  x )  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) ) )
4241simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  { v  e.  On  |  x  e.  ( R1 `  v
) }  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x )
) )
437, 37, 423syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1 `  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `  x
) ) )
4443adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  ( F `
 x ) ) )
4530, 44sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  On  /\  x  e.  ( R1
`  y ) )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
4645exp31 587 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  ( R1
`  suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4746com3r 73 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
y  e.  On  ->  ( x  e.  ( R1
`  y )  ->  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) ) ) )
4847rexlimdv 2679 . . 3  |-  ( x  e.  A  ->  ( E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A
) ) ) )
4948ralimia 2629 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
50 r1suc 7458 . . . . 5  |-  ( suc  U. ( F " A
)  e.  On  ->  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) )  =  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5122, 50ax-mp 8 . . . 4  |-  ( R1
`  suc  suc  U. ( F " A ) )  =  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )
5251eleq2i 2360 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <-> 
A  e.  ~P ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5321elpw 3644 . . 3  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  suc  U. ( F " A ) )  <-> 
A  C_  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
54 dfss3 3183 . . 3  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 `  suc  U. ( F " A ) ) )
5552, 53, 543bitri 262 . 2  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F
" A ) )  <->  A. x  e.  A  x  e.  ( R1 ` 
suc  U. ( F " A ) ) )
5649, 55sylibr 203 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  On  x  e.  ( R1 `  y
)  ->  A  e.  ( R1 `  suc  suc  U. ( F " A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   |^|cint 3878    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   suc csuc 4410   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   ` cfv 5271   R1cr1 7450
This theorem is referenced by:  tz9.12  7478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452
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