MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Unicode version

Theorem tz9.1c 7499
Description: Alternative expression for the existence of transitive closures tz9.1 7498: the intersection of all transitive sets containing  A is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2358 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )
3 eqid 2358 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )
41, 2, 3trcl 7497 . . . 4  |-  ( A 
C_  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) 
C_  x ) )
5 3simpa 952 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  C_  x
) )  ->  ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
6 omex 7431 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
7 fvex 5619 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w
)  e.  _V
86, 7iunex 5854 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  e.  _V
9 sseq2 3276 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
10 treq 4198 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
119, 10anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_ 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w ) ) ) )
128, 11spcev 2951 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) )  ->  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
134, 5, 12mp2b 9 . . 3  |-  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x )
14 abn0 3549 . . 3  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x ( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
1513, 14mpbir 200 . 2  |-  { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)
16 intex 4246 . 2  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V )
1715, 16mpbi 199 1  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1540   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   _Vcvv 2864    u. cun 3226    C_ wss 3228   (/)c0 3531   U.cuni 3906   |^|cint 3941   U_ciun 3984    e. cmpt 4156   Tr wtr 4192   omcom 4735    |` cres 4770   ` cfv 5334   reccrdg 6506
This theorem is referenced by:  tcvalg  7510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507
  Copyright terms: Public domain W3C validator