MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Structured version   Unicode version

Theorem tz9.1c 7669
Description: Alternative expression for the existence of transitive closures tz9.1 7668: the intersection of all transitive sets containing  A is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )
41, 2, 3trcl 7667 . . . 4  |-  ( A 
C_  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) 
C_  x ) )
5 3simpa 955 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  C_  x
) )  ->  ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
6 omex 7601 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
7 fvex 5745 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w
)  e.  _V
86, 7iunex 5994 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  e.  _V
9 sseq2 3372 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
10 treq 4311 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
119, 10anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_ 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w ) ) ) )
128, 11spcev 3045 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) )  ->  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
134, 5, 12mp2b 10 . . 3  |-  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x )
14 abn0 3648 . . 3  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x ( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
1513, 14mpbir 202 . 2  |-  { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)
16 intex 4359 . 2  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V )
1715, 16mpbi 201 1  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   |^|cint 4052   U_ciun 4095    e. cmpt 4269   Tr wtr 4305   omcom 4848    |` cres 4883   ` cfv 5457   reccrdg 6670
This theorem is referenced by:  tcvalg  7680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
  Copyright terms: Public domain W3C validator