MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Unicode version

Theorem tz9.1c 7412
Description: Alternative expression for the existence of transitive closures tz9.1 7411: the intersection of all transitive sets containing  A is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )
41, 2, 3trcl 7410 . . . 4  |-  ( A 
C_  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) 
C_  x ) )
5 3simpa 952 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  A. x ( ( A  C_  x  /\  Tr  x )  ->  U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  C_  x
) )  ->  ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
6 omex 7344 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
7 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w
)  e.  _V
86, 7iunex 5770 . . . . 5  |-  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  e.  _V
9 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( A  C_  x 
<->  A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
10 treq 4119 . . . . . 6  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( Tr  x  <->  Tr 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) ) )
119, 10anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  ->  ( ( A 
C_  x  /\  Tr  x )  <->  ( A  C_ 
U_ w  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  w ) ) ) )
128, 11spcev 2875 . . . 4  |-  ( ( A  C_  U_ w  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w )  /\  Tr  U_ w  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  w ) )  ->  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
134, 5, 12mp2b 9 . . 3  |-  E. x
( A  C_  x  /\  Tr  x )
14 abn0 3473 . . 3  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  E. x ( A  C_  x  /\  Tr  x ) )
1513, 14mpbir 200 . 2  |-  { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)
16 intex 4167 . 2  |-  ( { x  |  ( A 
C_  x  /\  Tr  x ) }  =/=  (/)  <->  |^|
{ x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V )
1715, 16mpbi 199 1  |-  |^| { x  |  ( A  C_  x  /\  Tr  x ) }  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   |^|cint 3862   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   Tr wtr 4113   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422
This theorem is referenced by:  tcvalg  7423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423
  Copyright terms: Public domain W3C validator