Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Structured version   Unicode version

Theorem tz9.1c 7669
 Description: Alternative expression for the existence of transitive closures tz9.1 7668: the intersection of all transitive sets containing is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1
Assertion
Ref Expression
tz9.1c
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5
2 eqid 2438 . . . . 5
3 eqid 2438 . . . . 5
41, 2, 3trcl 7667 . . . 4
5 3simpa 955 . . . 4
6 omex 7601 . . . . . 6
7 fvex 5745 . . . . . 6
86, 7iunex 5994 . . . . 5
9 sseq2 3372 . . . . . 6
10 treq 4311 . . . . . 6
119, 10anbi12d 693 . . . . 5
128, 11spcev 3045 . . . 4
134, 5, 12mp2b 10 . . 3
14 abn0 3648 . . 3
1513, 14mpbir 202 . 2
16 intex 4359 . 2
1715, 16mpbi 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424   wne 2601  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  c0 3630  cuni 4017  cint 4052  ciun 4095   cmpt 4269   wtr 4305  com 4848   cres 4883  cfv 5457  crdg 6670 This theorem is referenced by:  tcvalg  7680 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671
 Copyright terms: Public domain W3C validator