Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ubelsupr Unicode version

Theorem ubelsupr 27794
Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
ubelsupr  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  U  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, U

Proof of Theorem ubelsupr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  A  C_  RR )
2 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  U  e.  A )
3 ne0i 3474 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
42, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  A  =/=  (/) )
51, 2jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( A  C_  RR  /\  U  e.  A ) )
6 ssel2 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A )  ->  U  e.  RR )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  U  e.  RR )
8 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  A. x  e.  A  x  <_  U )
97, 8jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( U  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <_  U ) )
10 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  U ) )
1110ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  y  <->  A. x  e.  A  x  <_  U ) )
1211rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  RR  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y )
139, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y
)
141, 4, 133jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y
) )
1514, 2jca 518 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y
)  /\  U  e.  A ) )
16 suprub 9731 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y )  /\  U  e.  A )  ->  U  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
1715, 16syl 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  U  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
1814, 7jca 518 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y
)  /\  U  e.  RR ) )
19 suprleub 9734 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y )  /\  U  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U  <->  A. x  e.  A  x  <_  U ) )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U  <->  A. x  e.  A  x  <_  U ) )
218, 20mpbird 223 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U )
2217, 21jca 518 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( U  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U
) )
23 suprcl 9730 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  x  <_  y
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2414, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
257, 24jca 518 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( U  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR ) )
26 letri3 8923 . . 3  |-  ( ( U  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( U  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( U  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U
) ) )
2725, 26syl 15 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  ( U  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( U  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  U
) ) )
2822, 27mpbird 223 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  U  e.  A  /\  A. x  e.  A  x  <_  U )  ->  U  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  cncmpmax  27806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator