MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Unicode version

Theorem ubicc2 11006
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
2 simp3 959 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
3 xrleid 10735 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  B )
433ad2ant2 979 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  <_  B )
5 elicc1 10952 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  ( A [,] B )  <->  ( B  e.  RR*  /\  A  <_  B  /\  B  <_  B
) ) )
71, 2, 4, 6mpbir3and 1137 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111    <_ cle 9113   [,]cicc 10911
This theorem is referenced by:  iccpnfcnv  18961  oprpiece1res2  18969  ivthlem2  19341  ivth2  19344  ivthle  19345  ivthle2  19346  dyadmaxlem  19481  cmvth  19867  mvth  19868  dvlip  19869  c1liplem1  19872  dvgt0lem1  19878  lhop1lem  19889  dvcnvrelem1  19893  dvcvx  19896  dvfsumle  19897  dvfsumge  19898  dvfsumabs  19899  dvfsumlem2  19903  ftc2  19920  ftc2ditglem  19921  itgparts  19923  itgsubstlem  19924  efcvx  20357  pige3  20417  logccv  20546  loglesqr  20634  pntlem3  21295  eliccioo  24169  xrge0iifcnv  24311  lmxrge0  24329  esumpinfval  24455  hashf2  24466  esumcvg  24468  cvmliftlem7  24970  cvmliftlem10  24973  ftc2nc  26279  areacirc  26288  ivthALT  26329  itgsin0pilem1  27711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-icc 10915
  Copyright terms: Public domain W3C validator