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Theorem ublbneg 10562
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <_  a  <->  y  <_  a ) )
21cbvralv 2934 . . . 4  |-  ( A. b  e.  A  b  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  a )
32rexbii 2732 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a )
4 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <_  a  <->  y  <_  x ) )
54ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
65cbvrexv 2935 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
73, 6bitri 242 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
8 renegcl 9366 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
9 elrabi 3092 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  y  e.  RR )
10 negeq 9300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  -u z  =  -u y )
1110eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
1211elrab3 3095 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
1312biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  -> 
-u y  e.  A
) )
149, 13mpcom 35 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
15 breq1 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <_  a  <->  -u y  <_ 
a ) )
1615rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1714, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1817adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u y  <_  a
) )
19 lenegcon1 9534 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <_ 
y  <->  -u y  <_  a
) )
209, 19sylan2 462 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( -u a  <_  y  <->  -u y  <_  a )
)
2118, 20sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u a  <_  y
) )
2221ralrimdva 2798 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
23 breq1 4217 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <_  y  <->  -u a  <_ 
y ) )
2423ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y  <->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
2524rspcev 3054 . . . 4  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\ 
A. y  e.  {
z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y )
268, 22, 25ee12an 1373 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y ) )
2726rexlimiv 2826 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
287, 27sylbir 206 1  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   class class class wbr 4214   RRcr 8991    <_ cle 9123   -ucneg 9294
This theorem is referenced by:  supminf  10565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
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