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Theorem ublbneg 10318
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <_  a  <->  y  <_  a ) )
21cbvralv 2777 . . . 4  |-  ( A. b  e.  A  b  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  a )
32rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a )
4 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <_  a  <->  y  <_  x ) )
54ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
65cbvrexv 2778 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
73, 6bitri 240 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
8 renegcl 9126 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
9 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  C_  RR
109sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  y  e.  RR )
11 negeq 9060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  -u z  =  -u y )
1211eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
1312elrab3 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
1413biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  -> 
-u y  e.  A
) )
1510, 14mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
16 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <_  a  <->  -u y  <_ 
a ) )
1716rspcv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1815, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1918adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u y  <_  a
) )
20 lenegcon1 9294 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <_ 
y  <->  -u y  <_  a
) )
2110, 20sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( -u a  <_  y  <->  -u y  <_  a )
)
2219, 21sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u a  <_  y
) )
2322ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
24 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <_  y  <->  -u a  <_ 
y ) )
2524ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y  <->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
2625rspcev 2897 . . . 4  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\ 
A. y  e.  {
z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y )
278, 23, 26ee12an 1353 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y ) )
2827rexlimiv 2674 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
297, 28sylbir 204 1  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   class class class wbr 4039   RRcr 8752    <_ cle 8884   -ucneg 9054
This theorem is referenced by:  supminf  10321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
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