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Theorem ublbneg 10302
Description: The image under negation of a bounded-above set of reals is bounded below. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ublbneg  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem ublbneg
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <_  a  <->  y  <_  a ) )
21cbvralv 2764 . . . 4  |-  ( A. b  e.  A  b  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  a )
32rexbii 2568 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a )
4 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
y  <_  a  <->  y  <_  x ) )
54ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( a  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  a  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
65cbvrexv 2765 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
73, 6bitri 240 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
8 renegcl 9110 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  -u a  e.  RR )
9 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  C_  RR
109sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  y  e.  RR )
11 negeq 9044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  -u z  =  -u y )
1211eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u y  e.  A ) )
1312elrab3 2924 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  -u y  e.  A ) )
1413biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  -> 
-u y  e.  A
) )
1510, 14mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  -u y  e.  A )
16 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  -u y  ->  (
b  <_  a  <->  -u y  <_ 
a ) )
1716rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( -u y  e.  A  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1815, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  -u y  <_  a ) )
1918adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u y  <_  a
) )
20 lenegcon1 9278 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u a  <_ 
y  <->  -u y  <_  a
) )
2110, 20sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( -u a  <_  y  <->  -u y  <_  a )
)
2219, 21sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } )  -> 
( A. b  e.  A  b  <_  a  -> 
-u a  <_  y
) )
2322ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
24 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u a  ->  (
x  <_  y  <->  -u a  <_ 
y ) )
2524ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  -u a  ->  ( A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y  <->  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y
) )
2625rspcev 2884 . . . 4  |-  ( (
-u a  e.  RR  /\ 
A. y  e.  {
z  e.  RR  |  -u z  e.  A } -u a  <_  y )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }
x  <_  y )
278, 23, 26ee12an 1353 . . 3  |-  ( a  e.  RR  ->  ( A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y ) )
2827rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <_  a  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
297, 28sylbir 204 1  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
{ z  e.  RR  |  -u z  e.  A } x  <_  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   class class class wbr 4023   RRcr 8736    <_ cle 8868   -ucneg 9038
This theorem is referenced by:  supminf  10305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040
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