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Theorem ubos 25256
Description: The upper bounds of  A. (Contributed by FL, 16-May-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
ubos.1  |-  X  = 
U. U. R
Assertion
Ref Expression
ubos  |-  ( ( R  e.  S  /\  A  e.  B )  ->  ( R  ub  A
)  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a } )
Distinct variable groups:    A, a,
b    R, a, b    X, a
Allowed substitution hints:    B( a, b)    S( a, b)    X( b)

Proof of Theorem ubos
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . 3  |-  ( R  e.  S  ->  R  e.  _V )
2 elex 2796 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
31, 2anim12i 549 . 2  |-  ( ( R  e.  S  /\  A  e.  B )  ->  ( R  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
4 ubos.1 . . . . 5  |-  X  = 
U. U. R
54fldrels 25113 . . . 4  |-  ( R  e.  S  ->  X  e.  _V )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  S  /\  A  e.  B )  ->  X  e.  _V )
7 rabexg 4164 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a }  e.  _V )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  S  /\  A  e.  B )  ->  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a }  e.  _V )
9 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  U. r  =  U. R )
109unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  U. U. r  =  U. U. R
)
11 rabeq 2782 . . . . . 6  |-  ( U. U. r  =  U. U. R  ->  { a  e. 
U. U. r  |  A. b  e.  x  b
r a }  =  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  x  b r
a } )
1210, 11syl 15 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  { a  e.  U. U. r  |  A. b  e.  x  b r a }  =  { a  e. 
U. U. R  |  A. b  e.  x  b
r a } )
13 breq 4025 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
b r a  <->  b R
a ) )
1413ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. b  e.  x  b r a  <->  A. b  e.  x  b R
a ) )
1514rabbidv 2780 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  x  b r a }  =  { a  e. 
U. U. R  |  A. b  e.  x  b R a } )
16 rabeq 2782 . . . . . . 7  |-  ( U. U. R  =  X  ->  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  x  b R
a }  =  {
a  e.  X  |  A. b  e.  x  b R a } )
1716eqcoms 2286 . . . . . 6  |-  ( X  =  U. U. R  ->  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  x  b R
a }  =  {
a  e.  X  |  A. b  e.  x  b R a } )
184, 17mp1i 11 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  { a  e.  U. U. R  |  A. b  e.  x  b R a }  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  x  b R a } )
1912, 15, 183eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  { a  e.  U. U. r  |  A. b  e.  x  b r a }  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  x  b R
a } )
20 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( A. b  e.  x  b R a  <->  A. b  e.  A  b R
a ) )
2120rabbidv 2780 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { a  e.  X  |  A. b  e.  x  b R a }  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a } )
22 df-ub 25253 . . . 4  |-  ub  =  ( r  e.  _V ,  x  e.  _V  |->  { a  e.  U. U. r  |  A. b  e.  x  b r
a } )
2319, 21, 22ovmpt2g 5982 . . 3  |-  ( ( R  e.  _V  /\  A  e.  _V  /\  {
a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a }  e.  _V )  ->  ( R  ub  A )  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a } )
24233expia 1153 . 2  |-  ( ( R  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R
a }  e.  _V  ->  ( R  ub  A
)  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a } ) )
253, 8, 24sylc 56 1  |-  ( ( R  e.  S  /\  A  e.  B )  ->  ( R  ub  A
)  =  { a  e.  X  |  A. b  e.  A  b R a } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    ub cub 25218
This theorem is referenced by:  ubos2  25257  puub  25259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-ub 25253
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