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Theorem ubthlem1 22329
Description: Lemma for ubth 22332. The function  A exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under  t of the closed ball of radius  k, and by assumption they cover  X. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 19240, for some  n the set  A `  n has an interior, meaning that there is a closed ball  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r } in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
Assertion
Ref Expression
ubthlem1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Distinct variable groups:    k, c, n, r, x, y, z, A    t, c, D, k, n, r, x, z    k, J, n   
y, t, J, x    N, c, k, n, r, t, x, y, z    ph, c, k, n, r, t, x, y    T, c, k, n, r, t, x, y, z    U, c, n, r, t, x, y, z    W, c, n, r, t, x, y    X, c, k, n, r, t, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( t)    D( y)    U( k)    J( z, r, c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 3693 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  (/)  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
21ralrimivw 2754 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  (/)  ->  A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
3 rabid2 2849 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<-> 
A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k )
42, 3sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
54eqcomd 2413 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  X )
65eleq1d 2474 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )  <->  X  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 iinrab 4117 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9 id 20 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  T  =/=  (/) )
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
1110sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( IndMet `  U )
13 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
16 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U  e. 
CBan
18 bnnv 22325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  e.  NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  e.  NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 22266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2322, 12cbncms 22324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
2417, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
25 cmetmet 19196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
26 metxmet 18321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
2814mopntopon 18426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e.  (TopOn `  X )
30 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3130, 13imsxmet 22141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
3220, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
3315mopntopon 18426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
35 iscncl 17291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
3629, 34, 35mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3721, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3811, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3938simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4039adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4140ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
4241biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
) )
43 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( t `  x
) ) )
4443breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  (
( N `  y
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
4544elrab 3056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  x )  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } 
<->  ( ( t `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
4642, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( t `  x )  e.  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
4746pm5.32da 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )  <->  ( x  e.  X  /\  ( t `  x
)  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } ) ) )
48 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
4948fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
5049breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
5150elrab 3056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) ) )
53 ffn 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  t  Fn  X )
54 elpreima 5813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5540, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5647, 52, 553bitr4d 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  x  e.  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) ) )
5756eqrdv 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  =  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
58 nnre 9967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
5958ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
6059rexrd 9094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR* )
61 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
6230, 61nvzcl 22072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
6320, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
64 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  W )
6530, 61, 64, 13nvnd 22137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
6620, 65mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
67 xmetsym 18334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6832, 63, 67mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6966, 68eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y ) )
7069breq1d 4186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( N `  y )  <_  k  <->  ( ( 0vec `  W ) ( IndMet `  W ) y )  <_  k ) )
7170rabbiia 2910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  =  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y )  <_ 
k }
7215, 71blcld 18492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  k  e.  RR* )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7332, 63, 72mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  RR*  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7460, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7538simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
7675adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
77 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( `' t
" x )  =  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) )
7877eleq1d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( ( `' t " x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( `' t
" { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  (
Clsd `  J )
) )
7978rspcv 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
8074, 76, 79sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  ( Clsd `  J
) )
8157, 80eqeltrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )
)
8281ralrimiva 2753 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
83 iincld 17062 . . . . . . 7  |-  ( ( T  =/=  (/)  /\  A. t  e.  T  {
z  e.  X  | 
( N `  (
t `  z )
)  <_  k }  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
849, 82, 83syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
858, 84eqeltrrd 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
8614mopntop 18427 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8727, 86ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  J  e. 
Top
8829toponunii 16956 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8988topcld 17058 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
9087, 89ax-mp 8 . . . . . 6  |-  X  e.  ( Clsd `  J
)
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
926, 85, 91pm2.61ne 2646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
93 ubthlem.9 . . . 4  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9492, 93fmptd 5856 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN --> ( Clsd `  J ) )
95 frn 5560 . . . . . . 7  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  A 
C_  ( Clsd `  J
) )
9694, 95syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ( Clsd `  J ) )
9788cldss2 17053 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P X
9896, 97syl6ss 3324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ~P X )
99 sspwuni 4140 . . . . 5  |-  ( ran 
A  C_  ~P X  <->  U.
ran  A  C_  X )
10098, 99sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  A  C_  X )
101 ubthlem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
102 arch 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
103102adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  RR )
105 ltle 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( c  <  k  ->  c  <_  k )
)
106104, 58, 105syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  c  <_  k ) )
107106impr 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
c  <_  k )
108107adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  <_  k )
10939ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
110109an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
11130, 64nvcl 22105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
11220, 110, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
113112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  t  e.  T
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
114113adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
115 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  e.  RR )
116 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  NN )
117116, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
118 letr 9127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( N `
 ( t `  x ) )  <_ 
c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
120108, 119mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
)
121120ralimdva 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
122121expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
123 fvex 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
12422, 123eqeltri 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  e. 
_V
125124rabex 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  _V
12693fvmpt2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  _V )  ->  ( A `
 k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
127125, 126mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
128127eleq2d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } ) )
12950ralbidv 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
130129elrab 3056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
131128, 130syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
132 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
133132biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
134133bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
135131, 134sylan9bbr 682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
136 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  A  Fn  NN )
13794, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  Fn  NN )
139 fnfvelrn 5830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  ran  A
)
140 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A `  k )  e.  ran  A  -> 
( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
142141sseld 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A `  k )  ->  x  e.  U. ran  A ) )
143138, 142sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  ->  x  e.  U. ran  A
) )
144135, 143sylbird 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
145144adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
146122, 145syl6d 66 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  x  e.  U.
ran  A ) ) )
147146rexlimdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  NN  c  <  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) ) )
148103, 147mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
149148rexlimdva 2794 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
150149ralimdva 2748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
) )
151101, 150mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
)
152 dfss3 3302 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. ran  A  <->  A. x  e.  X  x  e.  U.
ran  A )
153151, 152sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ran  A
)
154100, 153eqssd 3329 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  X )
155 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
15622, 155nvzcl 22072 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
157 ne0i 3598 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U )  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
15819, 156, 157mp2b 10 . . . 4  |-  X  =/=  (/)
15914bcth2 19240 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/) )
16024, 158, 159mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
16194, 154, 160syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
162 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ( Clsd `  J
) )
16397, 162sseldi 3310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ~P X )
164163elpwid 3772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  X )
16594, 164sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  X )
16688ntrss3 17083 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  X )
16787, 165, 166sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
168167sseld 3311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  X ) )
16988ntropn 17072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J )
17087, 165, 169sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  e.  J )
17114mopni2 18480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
17227, 171mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
173170, 172sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
174 elssuni 4007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  U. J )
175174, 88syl6sseqr 3359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  X )
176170, 175syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
177176sselda 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  y  e.  X
)
17888ntrss2 17080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
17987, 165, 178sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
180 sstr2 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  C_  ( A `  n )  ->  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n ) ) )
181179, 180syl5com 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
182181ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
183 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
184183, 27jctil 524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X )
)
185 rphalfcl 10596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
186185rpxrd 10609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
187 rpxr 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
188 rphalflt 10598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
189186, 187, 1883jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  /  2 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )
190 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }
19114, 190blsscls2 18491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( x  /  2
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }  C_  ( y
( ball `  D )
x ) )
192184, 189, 191syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( y ( ball `  D ) x ) )
193 sstr2 3319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( y (
ball `  D )
x )  ->  (
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) }  C_  ( A `  n )
) )
195185adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
196 breq2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( y D z )  <_  r  <->  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) ) )
197196rabbidv 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) } )
198197sseq1d 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  ( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
199198rspcev 3016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
200199ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
201195, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
202182, 194, 2013syld 53 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
203202rexlimdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
204177, 203syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
205173, 204mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n
) )
206205ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
207168, 206jcad 520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
208207eximdv 1629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
209 n0 3601 . . . 4  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
210 df-rex 2676 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
211208, 209, 2103imtr4g 262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
212211reximdva 2782 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
213161, 212mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674   _Vcvv 2920    C_ wss 3284   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   U.cuni 3979   |^|_ciin 4058   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   ran crn 4842   "cima 4844    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   RR+crp 10572   * Metcxmt 16645   Metcme 16646   ballcbl 16647   MetOpencmopn 16650   Topctop 16917  TopOnctopon 16918   Clsdccld 17039   intcnt 17040    Cn ccn 17246   CMetcms 19164   NrmCVeccnv 22020   BaseSetcba 22022   0veccn0v 22024   normCVcnmcv 22026   IndMetcims 22027    BLnOp cblo 22200   CBanccbn 22321
This theorem is referenced by:  ubthlem3  22331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-dc 8286  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ico 10882  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-rest 13609  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-lm 17251  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-cfil 19165  df-cau 19166  df-cmet 19167  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-ims 22037  df-lno 22202  df-nmoo 22203  df-blo 22204  df-0o 22205  df-cbn 22322
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