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Theorem ubthlem1 22377
Description: Lemma for ubth 22380. The function  A exhibits a countable collection of sets that are closed, being the inverse image under  t of the closed ball of radius  k, and by assumption they cover  X. Thus, by the Baire Category theorem bcth2 19288, for some  n the set  A `  n has an interior, meaning that there is a closed ball  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r } in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
Assertion
Ref Expression
ubthlem1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Distinct variable groups:    k, c, n, r, x, y, z, A    t, c, D, k, n, r, x, z    k, J, n   
y, t, J, x    N, c, k, n, r, t, x, y, z    ph, c, k, n, r, t, x, y    T, c, k, n, r, t, x, y, z    U, c, n, r, t, x, y, z    W, c, n, r, t, x, y    X, c, k, n, r, t, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( t)    D( y)    U( k)    J( z, r, c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem1
StepHypRef Expression
1 rzal 3731 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  (/)  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
21ralrimivw 2792 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  (/)  ->  A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
)
3 rabid2 2887 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<-> 
A. z  e.  X  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k )
42, 3sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  X  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
54eqcomd 2443 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  X )
65eleq1d 2504 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )  <->  X  e.  ( Clsd `  J
) ) )
7 iinrab 4155 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
87adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9 id 21 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  (/)  ->  T  =/=  (/) )
10 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
1110sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
12 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  =  ( IndMet `  U )
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
14 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
17 ubthlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  U  e. 
CBan
18 bnnv 22373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U  e.  NrmCVec
20 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  e.  NrmCVec
2112, 13, 14, 15, 16, 19, 20blocn2 22314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
22 ubth.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2322, 12cbncms 22372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
2417, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
25 cmetmet 19244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
26 metxmet 18369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
2814mopntopon 18474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  J  e.  (TopOn `  X )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
3130, 13imsxmet 22189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
3220, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
3315mopntopon 18474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
35 iscncl 17338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
3629, 34, 35mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3721, 36sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3811, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3938simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4039adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
4140ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
4241biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
) )
43 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  ( N `  y )  =  ( N `  ( t `  x
) ) )
4443breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( t `  x )  ->  (
( N `  y
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
4544elrab 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t `  x )  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } 
<->  ( ( t `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
4642, 45syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T
)  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  x )
)  <_  k  <->  ( t `  x )  e.  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
4746pm5.32da 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
( x  e.  X  /\  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )  <->  ( x  e.  X  /\  ( t `  x
)  e.  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } ) ) )
48 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
4948fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
5049breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
5150elrab 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  ( N `
 ( t `  z ) )  <_ 
k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  ( x  e.  X  /\  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
k ) ) )
53 ffn 5594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  t  Fn  X )
54 elpreima 5853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5540, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  ( `' t " { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k } )  <->  ( x  e.  X  /\  (
t `  x )  e.  { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) ) )
5647, 52, 553bitr4d 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  (
x  e.  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  <->  x  e.  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) ) )
5756eqrdv 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  =  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } ) )
58 nnre 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
5958ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
6059rexrd 9139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR* )
61 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
6230, 61nvzcl 22120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
6320, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
64 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  N  =  ( normCV `  W )
6530, 61, 64, 13nvnd 22185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
6620, 65mpan 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( y ( IndMet `  W
) ( 0vec `  W
) ) )
67 xmetsym 18382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6832, 63, 67mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( 0vec `  W ) (
IndMet `  W ) y )  =  ( y ( IndMet `  W )
( 0vec `  W )
) )
6966, 68eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y ) )
7069breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( ( N `  y )  <_  k  <->  ( ( 0vec `  W ) ( IndMet `  W ) y )  <_  k ) )
7170rabbiia 2948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  =  {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( ( 0vec `  W
) ( IndMet `  W
) y )  <_ 
k }
7215, 71blcld 18540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  /\  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  k  e.  RR* )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7332, 63, 72mp3an12 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  RR*  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7460, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { y  e.  ( BaseSet `  W
)  |  ( N `
 y )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) )
7538simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
7675adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
77 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( `' t
" x )  =  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
) )
7877eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  ->  ( ( `' t " x )  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( `' t
" { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  (
Clsd `  J )
) )
7978rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( { y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k }  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )  ->  ( `' t " { y  e.  (
BaseSet `  W )  |  ( N `  y
)  <_  k }
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
8074, 76, 79sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  ( `' t " {
y  e.  ( BaseSet `  W )  |  ( N `  y )  <_  k } )  e.  ( Clsd `  J
) )
8157, 80eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  t  e.  T )  ->  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  ( Clsd `  J )
)
8281ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
83 iincld 17108 . . . . . . 7  |-  ( ( T  =/=  (/)  /\  A. t  e.  T  {
z  e.  X  | 
( N `  (
t `  z )
)  <_  k }  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
849, 82, 83syl2anr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  |^|_ t  e.  T  { z  e.  X  |  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
858, 84eqeltrrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  T  =/=  (/) )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
8614mopntop 18475 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
8727, 86ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  J  e. 
Top
8829toponunii 17002 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8988topcld 17104 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
9087, 89ax-mp 5 . . . . . 6  |-  X  e.  ( Clsd `  J
)
9190a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
926, 85, 91pm2.61ne 2681 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  (
Clsd `  J )
)
93 ubthlem.9 . . . 4  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
9492, 93fmptd 5896 . . 3  |-  ( ph  ->  A : NN --> ( Clsd `  J ) )
95 frn 5600 . . . . . . 7  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  ran  A 
C_  ( Clsd `  J
) )
9694, 95syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ( Clsd `  J ) )
9788cldss2 17099 . . . . . 6  |-  ( Clsd `  J )  C_  ~P X
9896, 97syl6ss 3362 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  A  C_  ~P X )
99 sspwuni 4179 . . . . 5  |-  ( ran 
A  C_  ~P X  <->  U.
ran  A  C_  X )
10098, 99sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ran  A  C_  X )
101 ubthlem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
102 arch 10223 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  RR  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
103102adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  E. k  e.  NN  c  <  k
)
104 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  c  e.  RR )
105 ltle 9168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( c  <  k  ->  c  <_  k )
)
106104, 58, 105syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  c  <_  k ) )
107106impr 604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
c  <_  k )
108107adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  <_  k )
10939ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
110109an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
11130, 64nvcl 22153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
11220, 110, 111sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  t  e.  T
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
114113adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
115 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  c  e.  RR )
116 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  NN )
117116, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  k  e.  RR )
118 letr 9172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N `  (
t `  x )
)  e.  RR  /\  c  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( ( N `
 ( t `  x ) )  <_ 
c  /\  c  <_  k )  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
120108, 119mpan2d 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  k )
)
121120ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  ( k  e.  NN  /\  c  < 
k ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
122121expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
123 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
12422, 123eqeltri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  e. 
_V
125124rabex 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  e.  _V
12693fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN  /\  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k }  e.  _V )  ->  ( A `
 k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
127125, 126mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
128127eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } ) )
12950ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
130129elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k } 
<->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k ) )
131128, 130syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
132 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
133132biantrurd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  <->  ( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) ) )
134133bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
135131, 134sylan9bbr 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k
) )
136 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  ->  A  Fn  NN )
13794, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN )
138137adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  Fn  NN )
139 fnfvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  e.  ran  A
)
140 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A `  k )  e.  ran  A  -> 
( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `  k
)  C_  U. ran  A
)
142141sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( A `  k )  ->  x  e.  U. ran  A ) )
143138, 142sylan 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( A `
 k )  ->  x  e.  U. ran  A
) )
144135, 143sylbird 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
145144adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  k  ->  x  e.  U. ran  A ) )
146122, 145syl6d 67 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( c  < 
k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  ->  x  e.  U.
ran  A ) ) )
147146rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( E. k  e.  NN  c  <  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) ) )
148103, 147mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  c  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
149148rexlimdva 2832 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c  ->  x  e.  U. ran  A ) )
150149ralimdva 2786 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
) )
151101, 150mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  x  e.  U. ran  A
)
152 dfss3 3340 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. ran  A  <->  A. x  e.  X  x  e.  U.
ran  A )
153151, 152sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  C_  U. ran  A
)
154100, 153eqssd 3367 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  X )
155 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
15622, 155nvzcl 22120 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  X )
157 ne0i 3636 . . . . 5  |-  ( (
0vec `  U )  e.  X  ->  X  =/=  (/) )
15819, 156, 157mp2b 10 . . . 4  |-  X  =/=  (/)
15914bcth2 19288 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  X  =/=  (/) )  /\  ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/) )
16024, 158, 159mpanl12 665 . . 3  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  U. ran  A  =  X )  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
16194, 154, 160syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) )
162 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ( Clsd `  J
) )
16397, 162sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  ~P X )
164163elpwid 3810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN --> ( Clsd `  J )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  X )
16594, 164sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  X )
16688ntrss3 17129 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  X )
16787, 165, 166sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
168167sseld 3349 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  y  e.  X ) )
16988ntropn 17118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J )
17087, 165, 169sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  e.  J )
17114mopni2 18528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
17227, 171mp3an1 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
173170, 172sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
) )
174 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  U. J )
175174, 88syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  e.  J  ->  ( ( int `  J ) `  ( A `  n ) )  C_  X )
176170, 175syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  X )
177176sselda 3350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  y  e.  X
)
17888ntrss2 17126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A `  n ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
17987, 165, 178sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( int `  J ) `
 ( A `  n ) )  C_  ( A `  n ) )
180 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  C_  ( A `  n )  ->  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n ) ) )
181179, 180syl5com 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
182181ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  -> 
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n ) ) )
183 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
184183, 27jctil 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X )
)
185 rphalfcl 10641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
186185rpxrd 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  e. 
RR* )
187 rpxr 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e. 
RR* )
188 rphalflt 10643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  2 )  < 
x )
189186, 187, 1883jca 1135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( x  /  2 )  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )
190 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }
19114, 190blsscls2 18539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
( x  /  2
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  ( x  /  2 )  < 
x ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) }  C_  ( y
( ball `  D )
x ) )
192184, 189, 191syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( y ( ball `  D ) x ) )
193 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( y (
ball `  D )
x )  ->  (
( y ( ball `  D ) x ) 
C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
194192, 193syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( A `  n )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) }  C_  ( A `  n )
) )
195185adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  /  2 )  e.  RR+ )
196 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( y D z )  <_  r  <->  ( y D z )  <_ 
( x  /  2
) ) )
197196rabbidv 2950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  =  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  (
x  /  2 ) } )
198197sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  ( x  / 
2 )  ->  ( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  { z  e.  X  |  (
y D z )  <_  ( x  / 
2 ) }  C_  ( A `  n ) ) )
199198rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR+  /\  {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
200199ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  2 )  e.  RR+  ->  ( { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
201195, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( {
z  e.  X  | 
( y D z )  <_  ( x  /  2 ) } 
C_  ( A `  n )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
202182, 194, 2013syld 54 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
203202rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. x  e.  RR+  (
y ( ball `  D
) x )  C_  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
204177, 203syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( y (
ball `  D )
x )  C_  (
( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
205173, 204mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  | 
( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n
) )
206205ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
207168, 206jcad 521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  ->  ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
208207eximdv 1633 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  ->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) ) )
209 n0 3639 . . . 4  |-  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) ) )
210 df-rex 2713 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n )  <->  E. y ( y  e.  X  /\  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  ( A `  n )
) )
211208, 209, 2103imtr4g 263 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( int `  J
) `  ( A `  n ) )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
212211reximdva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( int `  J ) `  ( A `  n )
)  =/=  (/)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) ) )
213161, 212mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( A `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|_ciin 4096   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   ran crn 4882   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   RR+crp 10617   * Metcxmt 16691   Metcme 16692   ballcbl 16693   MetOpencmopn 16696   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Clsdccld 17085   intcnt 17086    Cn ccn 17293   CMetcms 19212   NrmCVeccnv 22068   BaseSetcba 22070   0veccn0v 22072   normCVcnmcv 22074   IndMetcims 22075    BLnOp cblo 22248   CBanccbn 22369
This theorem is referenced by:  ubthlem3  22379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-dc 8331  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ico 10927  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-lm 17298  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-cfil 19213  df-cau 19214  df-cmet 19215  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-lno 22250  df-nmoo 22251  df-blo 22252  df-0o 22253  df-cbn 22370
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