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Theorem ubthlem2 22365
 Description: Lemma for ubth 22367. Given that there is a closed ball in , for any , we have and , so both of these have and so , which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1
ubth.2 CV
ubthlem.3
ubthlem.4
ubthlem.5
ubthlem.6
ubthlem.7
ubthlem.8
ubthlem.9
ubthlem.10
ubthlem.11
ubthlem.12
ubthlem.13
Assertion
Ref Expression
ubthlem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   ()   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6
21nnrpd 10639 . . . . 5
32, 2rpaddcld 10655 . . . 4
4 ubthlem.12 . . . 4
53, 4rpdivcld 10657 . . 3
65rpred 10640 . 2
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10
8 rabss 3412 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 189 . . . . . . . . 9
109ad2antrr 707 . . . . . . . 8
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11
12 bnnv 22360 . . . . . . . . . . 11
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
174ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
1817rpcnd 10642 . . . . . . . . . 10
19 simpr 448 . . . . . . . . . 10
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
2220, 21nvscl 22099 . . . . . . . . . 10
2314, 18, 19, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
24 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
2520, 24nvgcl 22091 . . . . . . . . 9
2614, 16, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . . 8
27 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
2827breq1d 4214 . . . . . . . . . 10
29 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
3028, 29imbi12d 312 . . . . . . . . 9
3130rspccv 3041 . . . . . . . 8
3210, 26, 31sylc 58 . . . . . . 7
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3420, 33cbncms 22359 . . . . . . . . . . . . . . 15
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
36 cmetmet 19231 . . . . . . . . . . . . . 14
37 metxmet 18356 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
40 xmetsym 18369 . . . . . . . . . . . 12
4139, 16, 26, 40syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
43 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV
4420, 42, 43, 33imsdval 22170 . . . . . . . . . . . 12 CV
4514, 26, 16, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 CV
4620, 24, 42nvpncan2 22129 . . . . . . . . . . . . 13
4714, 16, 23, 46syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
4847fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11 CV CV
4941, 45, 483eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10 CV
5017rprege0d 10647 . . . . . . . . . . 11
5120, 21, 43nvsge0 22144 . . . . . . . . . . 11 CV CV
5214, 50, 19, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 CV CV
5349, 52eqtrd 2467 . . . . . . . . 9 CV
5418mulid1d 9097 . . . . . . . . . 10
5554eqcomd 2440 . . . . . . . . 9
5653, 55breq12d 4217 . . . . . . . 8 CV
5720, 43nvcl 22140 . . . . . . . . . . 11 CV
5813, 57mpan 652 . . . . . . . . . 10 CV
5958adantl 453 . . . . . . . . 9 CV
60 1re 9082 . . . . . . . . . 10
6160a1i 11 . . . . . . . . 9
6259, 61, 17lemul2d 10680 . . . . . . . 8 CV CV
6356, 62bitr4d 248 . . . . . . 7 CV
64 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . 13
6665rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . 12
67 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12
68 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
6920, 68eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . 13
7069rabex 4346 . . . . . . . . . . . 12
7166, 67, 70fvmpt 5798 . . . . . . . . . . 11
721, 71syl 16 . . . . . . . . . 10
7372eleq2d 2502 . . . . . . . . 9
74 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
7574fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
7675breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11
7776ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10
7877elrab 3084 . . . . . . . . 9
7973, 78syl6bb 253 . . . . . . . 8
8079ad2antrr 707 . . . . . . 7
8132, 63, 803imtr3d 259 . . . . . 6 CV
82 rsp 2758 . . . . . . . . . 10
8382com12 29 . . . . . . . . 9
8483ad2antlr 708 . . . . . . . 8
85 xmet0 18364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8638, 15, 85sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
874rpge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8886, 87eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9089breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9215, 88, 91sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
937, 92sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493, 72eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9897ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15
10094, 99sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14
101100simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13
102101r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . 12
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11
104 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13
105 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11133, 107, 108, 109, 110, 13, 104blocn2 22301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112108mopntopon 18461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
11338, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
114 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115114, 107imsxmet 22176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116109mopntopon 18461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
117104, 115, 116mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
118 iscncl 17325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
119113, 117, 118mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120111, 119sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121106, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122121simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
123122adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
124123, 26ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13
125 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14 CV
126114, 125nvcl 22140 . . . . . . . . . . . . 13
127104, 124, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
128123, 16ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13
129114, 125nvcl 22140 . . . . . . . . . . . . 13
130104, 128, 129sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
1311nnred 10007 . . . . . . . . . . . . 13
132131ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
133 le2add 9502 . . . . . . . . . . . 12
134127, 130, 132, 132, 133syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11
135103, 134mpan2d 656 . . . . . . . . . 10
13647fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
137104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139138, 110bloln 22277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14013, 104, 139mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141106, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14420, 42, 143, 138lnosub 22252 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14514, 137, 142, 26, 16, 144syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15
146 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14720, 21, 146, 138lnomul 22253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14814, 137, 142, 18, 19, 147syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15
149136, 145, 1483eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14
150149fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
151122ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14
152114, 146, 125nvsge0 22144 . . . . . . . . . . . . . 14
153137, 50, 151, 152syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
154150, 153eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12
155114, 143, 125nvmtri 22152 . . . . . . . . . . . . 13
156137, 124, 128, 155syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
157154, 156eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . 11
15817rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13
159114, 125nvcl 22140 . . . . . . . . . . . . . 14
160104, 151, 159sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
161158, 160remulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12
162127, 130readdcld 9107 . . . . . . . . . . . 12
1633rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13
164163ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
165 letr 9159 . . . . . . . . . . . 12
166161, 162, 164, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
167157, 166mpand 657 . . . . . . . . . 10
168135, 167syld 42 . . . . . . . . 9
169160, 164, 17lemuldiv2d 10686 . . . . . . . . 9
170168, 169sylibd 206 . . . . . . . 8
17184, 170syld 42 . . . . . . 7
172171adantld 454 . . . . . 6
17381, 172syld 42 . . . . 5 CV
174173ralrimiva 2781 . . . 4 CV
1755rpxrd 10641 . . . . . 6
176175adantr 452 . . . . 5
177 eqid 2435 . . . . . 6
17820, 114, 43, 125, 177, 13, 104nmoubi 22265 . . . . 5 CV
179122, 176, 178syl2anc 643 . . . 4 CV
180174, 179mpbird 224 . . 3
181180ralrimiva 2781 . 2
182 breq2 4208 . . . 4
183182ralbidv 2717 . . 3
184183rspcev 3044 . 2
1856, 181, 184syl2anc 643 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   wss 3312   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869  cima 4873  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987  cxr 9111   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  crp 10604  cxmt 16678  cme 16679  cmopn 16683  TopOnctopon 16951  ccld 17072   ccn 17280  cms 19199  cnv 22055  cpv 22056  cba 22057  cns 22058  cnsb 22060  CVcnmcv 22061  cims 22062   clno 22233  cnmoo 22234   cblo 22235  ccbn 22356 This theorem is referenced by:  ubthlem3  22366 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmet 19202  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-lno 22237  df-nmoo 22238  df-blo 22239  df-0o 22240  df-cbn 22357
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