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Theorem ubthlem2 21466
 Description: Lemma for ubth 21468. Given that there is a closed ball in , for any , we have and , so both of these have and so , which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1
ubth.2 CV
ubthlem.3
ubthlem.4
ubthlem.5
ubthlem.6
ubthlem.7
ubthlem.8
ubthlem.9
ubthlem.10
ubthlem.11
ubthlem.12
ubthlem.13
Assertion
Ref Expression
ubthlem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   ()   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6
21nnrpd 10405 . . . . 5
32, 2rpaddcld 10421 . . . 4
4 ubthlem.12 . . . 4
53, 4rpdivcld 10423 . . 3
65rpred 10406 . 2
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10
8 rabss 3263 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9
109ad2antrr 706 . . . . . . . 8
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11
12 bnnv 21461 . . . . . . . . . . 11
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
1413a1i 10 . . . . . . . . 9
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
174ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
1817rpcnd 10408 . . . . . . . . . 10
19 simpr 447 . . . . . . . . . 10
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
2220, 21nvscl 21200 . . . . . . . . . 10
2314, 18, 19, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
24 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
2520, 24nvgcl 21192 . . . . . . . . 9
2614, 16, 23, 25syl3anc 1182 . . . . . . . 8
27 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
2827breq1d 4049 . . . . . . . . . 10
29 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9
3130rspccv 2894 . . . . . . . 8
3210, 26, 31sylc 56 . . . . . . 7
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3420, 33cbncms 21460 . . . . . . . . . . . . . . 15
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
36 cmetmet 18728 . . . . . . . . . . . . . 14
37 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . 14
3835, 36, 37mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
40 xmetsym 17928 . . . . . . . . . . . 12
4139, 16, 26, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV
4420, 42, 43, 33imsdval 21271 . . . . . . . . . . . 12 CV
4514, 26, 16, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 CV
4620, 24, 42nvpncan2 21230 . . . . . . . . . . . . 13
4714, 16, 23, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 CV CV
4941, 45, 483eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10 CV
5017rprege0d 10413 . . . . . . . . . . 11
5120, 21, 43nvsge0 21245 . . . . . . . . . . 11 CV CV
5214, 50, 19, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 CV CV
5349, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . 9 CV
5418mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10
5554eqcomd 2301 . . . . . . . . 9
5653, 55breq12d 4052 . . . . . . . 8 CV
5720, 43nvcl 21241 . . . . . . . . . . 11 CV
5813, 57mpan 651 . . . . . . . . . 10 CV
5958adantl 452 . . . . . . . . 9 CV
60 1re 8853 . . . . . . . . . 10
6160a1i 10 . . . . . . . . 9
6259, 61, 17lemul2d 10446 . . . . . . . 8 CV CV
6356, 62bitr4d 247 . . . . . . 7 CV
64 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . 13
6665rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . 12
67 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12
68 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
6920, 68eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13
7069rabex 4181 . . . . . . . . . . . 12
7166, 67, 70fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
721, 71syl 15 . . . . . . . . . 10
7372eleq2d 2363 . . . . . . . . 9
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
7574fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
7675breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11
7776ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10
7877elrab 2936 . . . . . . . . 9
7973, 78syl6bb 252 . . . . . . . 8
8079ad2antrr 706 . . . . . . 7
8132, 63, 803imtr3d 258 . . . . . 6 CV
82 rsp 2616 . . . . . . . . . 10
8382com12 27 . . . . . . . . 9
8483ad2antlr 707 . . . . . . . 8
85 xmet0 17923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8638, 15, 85sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
874rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8886, 87eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9089breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9190elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9215, 88, 91sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
937, 92sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9493, 72eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9897ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9998elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15
10094, 99sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
101100simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13
102101r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . 12
103102adantr 451 . . . . . . . . . . 11
104 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13
105 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106105sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11133, 107, 108, 109, 110, 13, 104blocn2 21402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112108mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
11338, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
114 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115114, 107imsxmet 21277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116109mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 TopOn
117104, 115, 116mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn
118 iscncl 17014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TopOn TopOn
119113, 117, 118mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120111, 119sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121106, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122121simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
124 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
125123, 26, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
126 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14 CV
127114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . 13
128104, 125, 127sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
129 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14
130123, 16, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
131114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . 13
132104, 130, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
1331nnred 9777 . . . . . . . . . . . . 13
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
135 le2add 9272 . . . . . . . . . . . 12
136128, 132, 134, 134, 135syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11
137103, 136mpan2d 655 . . . . . . . . . 10
13847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15
139104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141140, 110bloln 21378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14213, 104, 141mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
143106, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14620, 42, 145, 140lnosub 21353 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14714, 139, 144, 26, 16, 146syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15
148 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14920, 21, 148, 140lnomul 21354 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15014, 139, 144, 18, 19, 149syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15
151138, 147, 1503eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . 14
152151fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
153 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
154122, 153sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
155114, 148, 126nvsge0 21245 . . . . . . . . . . . . . 14
156139, 50, 154, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
157152, 156eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12
158114, 145, 126nvmtri 21253 . . . . . . . . . . . . 13
159139, 125, 130, 158syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
160157, 159eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . 11
16117rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13
162114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . . 14
163104, 154, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13
164161, 163remulcld 8879 . . . . . . . . . . . 12
165128, 132readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12
1663rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13
167166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
168 letr 8930 . . . . . . . . . . . 12
169164, 165, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
170160, 169mpand 656 . . . . . . . . . 10
171137, 170syld 40 . . . . . . . . 9
172163, 167, 17lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . 9
173171, 172sylibd 205 . . . . . . . 8
17484, 173syld 40 . . . . . . 7
175174adantld 453 . . . . . 6
17681, 175syld 40 . . . . 5 CV
177176ralrimiva 2639 . . . 4 CV
1785rpxrd 10407 . . . . . 6
179178adantr 451 . . . . 5
180 eqid 2296 . . . . . 6
18120, 114, 43, 126, 180, 13, 104nmoubi 21366 . . . . 5 CV
182122, 179, 181syl2anc 642 . . . 4 CV
183177, 182mpbird 223 . . 3
184183ralrimiva 2639 . 2
185 breq2 4043 . . . 4
186185ralbidv 2576 . . 3
187186rspcev 2897 . 2
1886, 184, 187syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   wss 3165   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704  cima 4708  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cxr 8882   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  crp 10370  cxmt 16385  cme 16386  cmopn 16388  TopOnctopon 16648  ccld 16769   ccn 16970  cms 18696  cnv 21156  cpv 21157  cba 21158  cns 21159  cnsb 21161  CVcnmcv 21162  cims 21163   clno 21334  cnmoo 21335   cblo 21336  ccbn 21457 This theorem is referenced by:  ubthlem3  21467 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341  df-cbn 21458
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