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Theorem ubthlem2 21466
Description: Lemma for ubth 21468. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 10421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 10423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 10406 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 21461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 10408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
2220, 21nvscl 21200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 21192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X )
27 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
2827breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3130rspccv 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 21460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 18728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
40 xmetsym 17928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 21271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 21230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 21245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 21241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6259, 61, 17lemul2d 10446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6356, 62bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x
)  <_  1 ) )
64 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6665rabbidv 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
67 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
68 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6920, 68eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
7069rabex 4181 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7166, 67, 70fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
721, 71syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7372eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
7574fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ) )
7675breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7776ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7877elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
7973, 78syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8079ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8132, 63, 803imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
82 rsp 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
8382com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
8483ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
85 xmet0 17923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8638, 15, 85sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
874rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8886, 87eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
89 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
9089breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9190elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9215, 88, 91sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
937, 92sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9493, 72eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
95 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9695fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9796breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9998elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10094, 99sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
101100simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
102101r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
104 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
105 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
106105sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
107 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
108 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
109 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
110 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11133, 107, 108, 109, 110, 13, 104blocn2 21402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
112108mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11338, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
114 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
115114, 107imsxmet 21277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
116109mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
117104, 115, 116mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
118 iscncl 17014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
119113, 117, 118mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
120111, 119sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
121106, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
122121simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
124 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X )  -> 
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
125123, 26, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
126 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
127114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
128104, 125, 127sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
129 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  P  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
130123, 16, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
131114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
132104, 130, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1331nnred 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
135 le2add 9272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `  (
t `  P )
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
136128, 132, 134, 134, 135syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
137103, 136mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
13847fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
139104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
140 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
141140, 110bloln 21378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
14213, 104, 141mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
143106, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
145 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14620, 42, 145, 140lnosub 21353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
14714, 139, 144, 26, 16, 146syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) ( -v `  W
) ( t `  P ) ) )
148 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
14920, 21, 148, 140lnomul 21354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
15014, 139, 144, 18, 19, 149syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
151138, 147, 1503eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
152151fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
153 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
154122, 153sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
155114, 148, 126nvsge0 21245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .s
OLD `  W )
( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
156139, 50, 154, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) ) )
157152, 156eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
158114, 145, 126nvmtri 21253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
159139, 125, 130, 158syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
160157, 159eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
16117rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
162114, 126nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
163104, 154, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
164161, 163remulcld 8879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
165128, 132readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1663rpred 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
167166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
168 letr 8930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  /\  ( ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  +  ( N `
 ( t `  P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
169164, 165, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
170160, 169mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( K  +  K
) ) )
171137, 170syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
172163, 167, 17lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
173171, 172sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17484, 173syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
175174adantld 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
17681, 175syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
177176ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1785rpxrd 10407 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
179178adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
180 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
18120, 114, 43, 126, 180, 13, 104nmoubi 21366 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
182122, 179, 181syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
183177, 182mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
184183ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
185 breq2 4043 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
186185ralbidv 2576 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
187186rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)
1886, 184, 187syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769    Cn ccn 16970   CMetcms 18696   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   .s OLDcns 21159   -vcnsb 21161   normCVcnmcv 21162   IndMetcims 21163    LnOp clno 21334   normOp OLDcnmoo 21335    BLnOp cblo 21336   CBanccbn 21457
This theorem is referenced by:  ubthlem3  21467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341  df-cbn 21458
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