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Theorem ubthlem2 21450
Description: Lemma for ubth 21452. Given that there is a closed ball  B ( P ,  R ) in  A `  K, for any  x  e.  B
( 0 ,  1 ), we have  P  +  R  x.  x  e.  B
( P ,  R
) and  P  e.  B
( P ,  R
), so both of these have 
norm ( t ( z ) )  <_  K and so  norm ( t ( x  ) )  <_ 
( norm ( t ( P ) )  + 
norm ( t ( P  +  R  x.  x ) ) )  /  R  <_  (  K  +  K
)  /  R, which is our desired uniform bound. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
ubthlem.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
ubthlem.9  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
ubthlem.10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
ubthlem.11  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
ubthlem.12  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ubthlem.13  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Distinct variable groups:    k, c, x, z, A    t, c, D, k, x, z    k, J, t, x    k, d, t, x, z, K   
c, d, N, k, t, x, z    t, P, z    ph, c, k, t, x    R, d, t, x, z    T, c, d, k, t, x, z    U, c, d, t, x, z    W, c, d, t, x    X, c, d, k, t, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z, d)    A( t, d)    D( d)    P( x, k, c, d)    R( k, c)    U( k)    J( z, c, d)    K( c)    W( z, k)

Proof of Theorem ubthlem2
StepHypRef Expression
1 ubthlem.10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
32, 2rpaddcld 10405 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR+ )
4 ubthlem.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
53, 4rpdivcld 10407 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR+ )
65rpred 10390 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR )
7 ubthlem.13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K ) )
8 rabss 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  C_  ( A `  K
)  <->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `
 K ) ) )
109ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) ) )
11 ubthlem.5 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e. 
CBan
12 bnnv 21445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  U  e.  NrmCVec )
15 ubthlem.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  P  e.  X )
174ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR+ )
1817rpcnd 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  CC )
19 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
20 ubth.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
2220, 21nvscl 21184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  R  e.  CC  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
2314, 18, 19, 22syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )
24 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
2520, 24nvgcl 21176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )
2614, 16, 23, 25syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X )
27 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( P D z )  =  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
2827breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( P D z )  <_  R  <->  ( P D ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R )
)
29 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( z  e.  ( A `  K )  <-> 
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K ) ) )
3028, 29imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( ( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  <->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3130rspccv 2881 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  X  (
( P D z )  <_  R  ->  z  e.  ( A `  K ) )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  ->  ( ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) ) )
3210, 26, 31sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  ->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  ( A `  K ) ) )
33 ubthlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  D  =  ( IndMet `  U )
3420, 33cbncms 21444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
3511, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( CMet `  X
)
36 cmetmet 18712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
37 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
3835, 36, 37mp2b 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  e.  ( * Met `  X
)
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
40 xmetsym 17912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )  =  ( ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P ) )
4139, 16, 26, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) D P ) )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
43 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
4420, 42, 43, 33imsdval 21255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4514, 26, 16, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) D P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
4620, 24, 42nvpncan2 21214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  ( R ( .s OLD `  U ) x )  e.  X )  -> 
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )
4714, 16, 23, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ( -v `  U ) P )  =  ( R ( .s OLD `  U
) x ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( normCV `  U
) `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) ) )
4941, 45, 483eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
5017rprege0d 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )
5120, 21, 43nvsge0 21229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5214, 50, 19, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
5349, 52eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) )  =  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
5418mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  1 )  =  R )
5554eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  =  ( R  x.  1 ) )
5653, 55breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
5720, 43nvcl 21225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5813, 57mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5958adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
6160a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR )
6259, 61, 17lemul2d 10430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  <->  ( R  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  <_  ( R  x.  1 ) ) )
6356, 62bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P D ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  <_  R  <->  ( ( normCV `  U ) `  x
)  <_  1 ) )
64 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  K  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  k  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6564ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K
) )
6665rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_ 
k }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
67 ubthlem.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
68 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
6920, 68eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e. 
_V
7069rabex 4165 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K }  e.  _V
7166, 67, 70fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  ( A `  K )  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } )
721, 71syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
7372eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e. 
{ z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K } ) )
74 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( t `  z
)  =  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )
7574fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( N `  (
t `  z )
)  =  ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ) )
7675breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7776ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  -> 
( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
7877elrab 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
7973, 78syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  ( A `  K
)  <->  ( ( P ( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8079ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  ( A `
 K )  <->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
8132, 63, 803imtr3d 258 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K ) ) )
82 rsp 2603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( t  e.  T  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
) )
8382com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  T  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
8483ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K )
)
85 xmet0 17907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X
)  ->  ( P D P )  =  0 )
8638, 15, 85sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( P D P )  =  0 )
874rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
8886, 87eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P D P )  <_  R )
89 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  P  ->  ( P D z )  =  ( P D P ) )
9089breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D P )  <_  R
) )
9190elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  <->  ( P  e.  X  /\  ( P D P )  <_  R ) )
9215, 88, 91sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
937, 92sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  ( A `
 K ) )
9493, 72eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  K } )
95 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  P  ->  (
t `  z )  =  ( t `  P ) )
9695fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  P  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  P )
) )
9796breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  P  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  K  <->  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9897ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  P  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  K  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  P
) )  <_  K
) )
9998elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  K } 
<->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
10094, 99sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K ) )
101100simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 P ) )  <_  K )
102101r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  <_  K )
104 ubthlem.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  e.  NrmCVec
105 ubthlem.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
106105sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
107 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
108 ubthlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
109 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)
110 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
11133, 107, 108, 109, 110, 13, 104blocn2 21386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) )
112108mopntopon 17985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
11338, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  e.  (TopOn `  X )
114 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
115114, 107imsxmet 21261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  W
)  e.  ( * Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
116109mopntopon 17985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
IndMet `  W )  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet
`  W ) ) )
117104, 115, 116mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  W )
)  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
)
118 iscncl 16998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) )  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) )  <->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) ) )
119113, 117, 118mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( J  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) )  <-> 
( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  (
Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `
 W ) ) ) ( `' t
" x )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
120111, 119sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  ( t : X --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen
`  ( IndMet `  W
) ) ) ( `' t " x
)  e.  ( Clsd `  J ) ) )
121106, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( Clsd `  ( MetOpen `  ( IndMet `  W ) ) ) ( `' t "
x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
122121simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t : X --> ( BaseSet `  W
) )
124 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) )  e.  X )  -> 
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
125123, 26, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )
126 ubth.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( normCV `  W )
127114, 126nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR )
128104, 125, 127sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  e.  RR )
129 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  P  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
130123, 16, 129syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
131114, 126nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  P
) )  e.  RR )
132104, 130, 131sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  P ) )  e.  RR )
1331nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
134133ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  RR )
135 le2add 9256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  e.  RR  /\  ( N `  (
t `  P )
)  e.  RR )  /\  ( K  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
136128, 132, 134, 134, 135syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  /\  ( N `  (
t `  P )
)  <_  K )  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
137103, 136mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
13847fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) )
139104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  W  e.  NrmCVec )
140 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
141140, 110bloln 21362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
14213, 104, 141mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W ) )
143106, 142syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
144143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  t  e.  ( U  LnOp  W
) )
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
14620, 42, 145, 140lnosub 21337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  (
( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )
14714, 139, 144, 26, 16, 146syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) ( -v `  W
) ( t `  P ) ) )
148 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
14920, 21, 148, 140lnomul 21338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  LnOp  W
) )  /\  ( R  e.  CC  /\  x  e.  X ) )  -> 
( t `  ( R ( .s OLD `  U ) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
15014, 139, 144, 18, 19, 149syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  ( R
( .s OLD `  U
) x ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
151138, 147, 1503eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) )  =  ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )
152151fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( N `
 ( R ( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) ) )
153 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
154122, 153sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
155114, 148, 126nvsge0 21229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( R ( .s
OLD `  W )
( t `  x
) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) ) )
156139, 50, 154, 155syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( R
( .s OLD `  W
) ( t `  x ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) ) )
157152, 156eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  =  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) ) )
158114, 145, 126nvmtri 21237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  (
t `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
159139, 125, 130, 158syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) ( -v `  W ) ( t `
 P ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) ) )
160157, 159eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) ) )
16117rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  RR )
162114, 126nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
163104, 154, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  e.  RR )
164161, 163remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  e.  RR )
165128, 132readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR )
1663rpred 10390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K  +  K
)  e.  RR )
167166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  +  K )  e.  RR )
168 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  e.  RR  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  e.  RR  /\  ( K  +  K
)  e.  RR )  ->  ( ( ( R  x.  ( N `
 ( t `  x ) ) )  <_  ( ( N `
 ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  /\  ( ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  +  ( N `
 ( t `  P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
169164, 165, 167, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( R  x.  ( N `  ( t `
 x ) ) )  <_  ( ( N `  ( t `  ( P ( +v
`  U ) ( R ( .s OLD `  U ) x ) ) ) )  +  ( N `  (
t `  P )
) )  /\  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K ) )  -> 
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
170160, 169mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  +  ( N `  ( t `
 P ) ) )  <_  ( K  +  K )  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x
) ) )  <_ 
( K  +  K
) ) )
171137, 170syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K ) ) )
172163, 167, 17lemuldiv2d 10436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( R  x.  ( N `  ( t `  x ) ) )  <_  ( K  +  K )  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
173171, 172sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  (
t `  ( P
( +v `  U
) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
17484, 173syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) ) ) )  <_  K  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
175174adantld 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( P ( +v `  U ) ( R ( .s
OLD `  U )
x ) )  e.  X  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  ( P ( +v `  U ) ( R ( .s OLD `  U
) x ) ) ) )  <_  K
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
17681, 175syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  <_  1  ->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
177176ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) )
1785rpxrd 10391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR* )
179178adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )
180 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
18120, 114, 43, 126, 180, 13, 104nmoubi 21350 . . . . 5  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  (
( K  +  K
)  /  R )  e.  RR* )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
182122, 179, 181syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  x )  <_  1  ->  ( N `  (
t `  x )
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) ) ) )
183177, 182mpbird 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )
184183ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  ( ( K  +  K )  /  R ) )
185 breq2 4027 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
186185ralbidv 2563 . . 3  |-  ( d  =  ( ( K  +  K )  /  R )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  <_  (
( K  +  K
)  /  R ) ) )
187186rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( ( K  +  K )  /  R
)  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  ( ( K  +  K )  /  R
) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)
1886, 184, 187syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   MetOpencmopn 16372  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   CMetcms 18680   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s OLDcns 21143   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147    LnOp clno 21318   normOp OLDcnmoo 21319    BLnOp cblo 21320   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  ubthlem3  21451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-blo 21324  df-0o 21325  df-cbn 21442
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