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Theorem ubthlem3 21451
Description: Lemma for ubth 21452. Prove the reverse implication, using nmblolbi 21378. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ubth.2  |-  N  =  ( normCV `  W )
ubthlem.3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
ubthlem.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
ubthlem.5  |-  U  e. 
CBan
ubthlem.6  |-  W  e.  NrmCVec
ubthlem.7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
Assertion
Ref Expression
ubthlem3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
Distinct variable groups:    x, c,
t, D    t, J, x    t, d, x, c, N    ph, c, t, x    T, c, d, t, x    U, c, d, t, x    W, c, d, t, x    X, c, d, t, x    ph, d
Allowed substitution hints:    D( d)    J( c, d)

Proof of Theorem ubthlem3
Dummy variables  k  n  r  y  z  m  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  t  ->  (
u `  z )  =  ( t `  z ) )
21fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  t  ->  ( N `  ( u `  z ) )  =  ( N `  (
t `  z )
) )
32breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  t  ->  (
( N `  (
u `  z )
)  <_  d  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  d
) )
43cbvralv 2764 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z ) )  <_ 
d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  d )
5 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  c  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  d  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
65ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( d  =  c  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
74, 6syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( d  =  c  ->  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 z ) )  <_  d  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  c
) )
87cbvrexv 2765 . . . . 5  |-  ( E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z ) )  <_ 
d  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  c )
9 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
t `  z )  =  ( t `  x ) )
109fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( N `  ( t `  z ) )  =  ( N `  (
t `  x )
) )
1110breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  c  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
1211rexralbidv 2587 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  c  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
138, 12syl5bb 248 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  ( E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 z ) )  <_  d  <->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
1413cbvralv 2764 . . 3  |-  ( A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d  <->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
)
15 ubth.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ubth.2 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  W )
17 ubthlem.3 . . . . . 6  |-  D  =  ( IndMet `  U )
18 ubthlem.4 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
19 ubthlem.5 . . . . . 6  |-  U  e. 
CBan
20 ubthlem.6 . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
21 ubthlem.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
23 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)
2423, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
)
25 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  t  ->  (
u `  d )  =  ( t `  d ) )
2625fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  t  ->  ( N `  ( u `  d ) )  =  ( N `  (
t `  d )
) )
2726breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  t  ->  (
( N `  (
u `  d )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  d
) )  <_  m
) )
2827cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m 
<-> 
A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 d ) )  <_  m )
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  z  ->  (
t `  d )  =  ( t `  z ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  z  ->  ( N `  ( t `  d ) )  =  ( N `  (
t `  z )
) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  z  ->  (
( N `  (
t `  d )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3231ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 d ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3328, 32syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  ( A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  m
) )
3433cbvrabv 2787 . . . . . . . 8  |-  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  m }
35 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( N `  (
t `  z )
)  <_  m  <->  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
) )
3635ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  m  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z
) )  <_  k
) )
3736rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  k  ->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  z ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
3834, 37syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m }  =  {
z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
3938cbvmptv 4111 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } )  =  ( k  e.  NN  |->  { z  e.  X  |  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 z ) )  <_  k } )
4015, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 39ubthlem1 21449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) )
4121ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  T  C_  ( U  BLnOp  W ) )
4224ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
43 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  n  e.  NN )
44 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  -> 
y  e.  X )
45 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  -> 
r  e.  RR+ )
46 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) )
4715, 16, 17, 18, 19, 20, 41, 42, 39, 43, 44, 45, 46ubthlem2 21450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\ 
{ z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
) ) )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d )
4847expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  (
( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m } ) `
 n )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
4948rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  /\  ( n  e.  NN  /\  y  e.  X ) )  -> 
( E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_  r }  C_  ( ( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  d ) )  <_  m } ) `  n
)  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
) )
5049rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  ( E. n  e.  NN  E. y  e.  X  E. r  e.  RR+  { z  e.  X  |  ( y D z )  <_ 
r }  C_  (
( m  e.  NN  |->  { d  e.  X  |  A. u  e.  T  ( N `  ( u `
 d ) )  <_  m } ) `
 n )  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
5140, 50mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d
)  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d
)
5251ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  X  E. d  e.  RR  A. u  e.  T  ( N `  ( u `  z
) )  <_  d  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
5314, 52syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  ->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
54 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR )  ->  d  e.  RR )
55 bnnv 21445 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
5619, 55ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U  e.  NrmCVec
57 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
5815, 57nvcl 21225 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
5956, 58mpan 651 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  x )  e.  RR )
60 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )  ->  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
6154, 59, 60syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
6221sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
6362adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )
6463ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
t  e.  ( U 
BLnOp  W ) )
65 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U 
BLnOp  W )  =  ( U  BLnOp  W )
6715, 65, 66blof 21363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t  e.  ( U  BLnOp  W ) )  ->  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)
6856, 20, 67mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( U  BLnOp  W )  ->  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)
6964, 68syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
t : X --> ( BaseSet `  W ) )
70 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  ->  x  e.  X )
71 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : X --> ( BaseSet `  W )  /\  x  e.  X )  ->  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
7269, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( t `  x
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
7365, 16nvcl 21225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
t `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
7420, 73mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t `  x )  e.  ( BaseSet `  W
)  ->  ( N `  ( t `  x
) )  e.  RR )
7572, 74syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  e.  RR )
76 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOp OLD W )  =  ( U normOp OLD W
)
7715, 65, 76nmoxr 21344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  e.  RR* )
7856, 20, 77mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  (
( U normOp OLD W
) `  t )  e.  RR* )
7969, 78syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR* )
80 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
d  e.  RR )
8115, 65, 76nmogtmnf 21348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  t : X
--> ( BaseSet `  W )
)  ->  -oo  <  (
( U normOp OLD W
) `  t )
)
8256, 20, 81mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t : X --> ( BaseSet `  W )  ->  -oo  <  ( ( U normOp OLD W
) `  t )
)
8369, 82syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  ->  -oo  <  ( ( U
normOp OLD W ) `  t ) )
84 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )
85 xrre 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  e.  RR*  /\  d  e.  RR )  /\  (  -oo  <  ( ( U normOp OLD W
) `  t )  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )
)  ->  ( ( U normOp OLD W ) `  t )  e.  RR )
8679, 80, 83, 84, 85syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR )
8759ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )
88 remulcl 8822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  e.  RR  /\  ( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )  e.  RR )
8986, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR )
9061adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR )
9115, 57, 16, 76, 66, 56, 20nmblolbi 21378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( U 
BLnOp  W )  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9264, 70, 91syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  <_  ( (
( U normOp OLD W
) `  t )  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
9315, 57nvge0 21240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  0  <_  ( ( normCV `  U
) `  x )
)
9456, 93mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  0  <_  ( ( normCV `  U
) `  x )
)
9559, 94jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( normCV `  U
) `  x )
) )
9695ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( normCV `  U ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )
97 lemul1a 9610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  e.  RR  /\  d  e.  RR  /\  ( ( ( normCV `  U ) `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( normCV `  U ) `  x
) ) )  /\  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d )  ->  ( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  <_ 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9886, 80, 96, 84, 97syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  <_ 
( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) ) )
9975, 89, 90, 92, 98letrd 8973 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  ( t  e.  T  /\  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )  -> 
( N `  (
t `  x )
)  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) )
10099expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X
)  /\  t  e.  T )  ->  (
( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) ) )
101100ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) ) )
102 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  ->  ( ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  <->  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) ) ) )
103102ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( c  =  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
)  ->  ( A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c  <->  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  ( d  x.  ( ( normCV `  U
) `  x )
) ) )
104103rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( d  x.  (
( normCV `  U ) `  x ) )  e.  RR  /\  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  (
d  x.  ( (
normCV
`  U ) `  x ) ) )  ->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c )
10561, 101, 104ee12an 1353 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  RR )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. t  e.  T  ( ( U normOp OLD W ) `  t
)  <_  d  ->  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x ) )  <_ 
c ) )
106105ralrimdva 2633 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  RR )  ->  ( A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c
) )
107106rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR  A. t  e.  T  ( ( U
normOp OLD W ) `  t )  <_  d  ->  A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `
 x ) )  <_  c ) )
10853, 107impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  X  E. c  e.  RR  A. t  e.  T  ( N `  ( t `  x
) )  <_  c  <->  E. d  e.  RR  A. t  e.  T  (
( U normOp OLD W
) `  t )  <_  d ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   RR+crp 10354   MetOpencmopn 16372   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147   normOp OLDcnmoo 21319    BLnOp cblo 21320   CBanccbn 21441
This theorem is referenced by:  ubth  21452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-dc 8072  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-blo 21324  df-0o 21325  df-cbn 21442
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