MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffinfix Unicode version

Theorem uffinfix 17724
Description: An ultrafilter containing a finite element is fixed. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffinfix  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, X, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)

Proof of Theorem uffinfix
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17701 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filfinnfr 17674 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
31, 2syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  |^| F  =/=  (/) )
4 uffix2 17721 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
543ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  ( |^| F  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
63, 5mpbid 201 1  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  S  e.  F  /\  S  e. 
Fin )  ->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620   {crab 2623   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   |^|cint 3943   ` cfv 5337   Fincfn 6951   Filcfil 17642   UFilcufil 17696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-fil 17643  df-ufil 17698
  Copyright terms: Public domain W3C validator