MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Unicode version

Theorem uffix 17616
Description: Lemma for fixufil 17617 and uffixfr 17618. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem uffix
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snnzg 3743 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  =/=  (/) )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  V )
6 snfbas 17561 . . 3  |-  ( ( { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/)  /\  X  e.  V )  ->  { { A } }  e.  (
fBas `  X )
)
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
8 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
98elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ~P X 
<->  y  C_  X )
)
11 snex 4216 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1211snid 3667 . . . . . . 7  |-  { A }  e.  { { A } }
13 snssi 3759 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  y  ->  { A }  C_  y )
14 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( x  C_  y  <->  { A }  C_  y
) )
1514rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  { { A } }  /\  { A }  C_  y )  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
1612, 13, 15sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
17 intss1 3877 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  |^| { { A } }  C_  x
)
18 sstr2 3186 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  x  ->  ( x  C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  ( x 
C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
20 snidg 3665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
2120adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
2211intsn 3898 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { { A } }  =  { A }
2321, 22syl6eleqr 2374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  |^| { { A } } )
24 ssel 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  ( A  e.  |^| { { A } }  ->  A  e.  y ) )
2523, 24syl5com 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2619, 25sylan9r 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  { { A } }
)  ->  ( x  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2726rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e. 
{ { A } } x  C_  y  ->  A  e.  y )
)
2816, 27impbid2 195 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  y  <->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) )
2910, 28anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y  e. 
~P X  /\  A  e.  y )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
30 eleq2 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
3130elrab 2923 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
3231a1i 10 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
33 elfg 17566 . . . . 5  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
347, 33syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
3529, 32, 343bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  y  e.  ( X
filGen { { A } } ) ) )
3635eqrdv 2281 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
377, 36jca 518 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   |^|cint 3862   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519
This theorem is referenced by:  fixufil  17617  uffixfr  17618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator