MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Unicode version

Theorem uffix 17945
Description: Lemma for fixufil 17946 and uffixfr 17947. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem uffix
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3934 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
21adantl 453 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snnzg 3913 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
43adantl 453 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  =/=  (/) )
5 simpl 444 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  V )
6 snfbas 17890 . . 3  |-  ( ( { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/)  /\  X  e.  V )  ->  { { A } }  e.  (
fBas `  X )
)
72, 4, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
8 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
98elpw 3797 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ~P X 
<->  y  C_  X )
)
11 snex 4397 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1211snid 3833 . . . . . . 7  |-  { A }  e.  { { A } }
13 snssi 3934 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  y  ->  { A }  C_  y )
14 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( x  C_  y  <->  { A }  C_  y
) )
1514rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  { { A } }  /\  { A }  C_  y )  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
1612, 13, 15sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
17 intss1 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  |^| { { A } }  C_  x
)
18 sstr2 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  x  ->  ( x  C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  ( x 
C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
20 snidg 3831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
2120adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
2211intsn 4078 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { { A } }  =  { A }
2321, 22syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  |^| { { A } } )
24 ssel 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  ( A  e.  |^| { { A } }  ->  A  e.  y ) )
2523, 24syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2619, 25sylan9r 640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  { { A } }
)  ->  ( x  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2726rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e. 
{ { A } } x  C_  y  ->  A  e.  y )
)
2816, 27impbid2 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  y  <->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) )
2910, 28anbi12d 692 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y  e. 
~P X  /\  A  e.  y )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
30 eleq2 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
3130elrab 3084 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
33 elfg 17895 . . . . 5  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
347, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
3529, 32, 343bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  y  e.  ( X
filGen { { A } } ) ) )
3635eqrdv 2433 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
377, 36jca 519 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   |^|cint 4042   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   fBascfbas 16681   filGencfg 16682
This theorem is referenced by:  fixufil  17946  uffixfr  17947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870
  Copyright terms: Public domain W3C validator