MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Unicode version

Theorem uffix 17632
Description: Lemma for fixufil 17633 and uffixfr 17634. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, X    x, V

Proof of Theorem uffix
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 3775 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  C_  X )
21adantl 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  C_  X )
3 snnzg 3756 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  { A }  =/=  (/) )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { A }  =/=  (/) )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  V )
6 snfbas 17577 . . 3  |-  ( ( { A }  C_  X  /\  { A }  =/=  (/)  /\  X  e.  V )  ->  { { A } }  e.  (
fBas `  X )
)
72, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { { A } }  e.  ( fBas `  X ) )
8 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
98elpw 3644 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  <->  y  C_  X )
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ~P X 
<->  y  C_  X )
)
11 snex 4232 . . . . . . . 8  |-  { A }  e.  _V
1211snid 3680 . . . . . . 7  |-  { A }  e.  { { A } }
13 snssi 3775 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  y  ->  { A }  C_  y )
14 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { A }  ->  ( x  C_  y  <->  { A }  C_  y
) )
1514rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  e.  { { A } }  /\  { A }  C_  y )  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
1612, 13, 15sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( A  e.  y  ->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y )
17 intss1 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  |^| { { A } }  C_  x
)
18 sstr2 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  x  ->  ( x  C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { { A } }  ->  ( x 
C_  y  ->  |^| { { A } }  C_  y
) )
20 snidg 3678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  A  e.  { A } )
2120adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  { A } )
2211intsn 3914 . . . . . . . . . 10  |-  |^| { { A } }  =  { A }
2321, 22syl6eleqr 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  |^| { { A } } )
24 ssel 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  ( A  e.  |^| { { A } }  ->  A  e.  y ) )
2523, 24syl5com 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( |^| { { A } }  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2619, 25sylan9r 639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  { { A } }
)  ->  ( x  C_  y  ->  A  e.  y ) )
2726rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e. 
{ { A } } x  C_  y  ->  A  e.  y )
)
2816, 27impbid2 195 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  y  <->  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) )
2910, 28anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y  e. 
~P X  /\  A  e.  y )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
30 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
3130elrab 2936 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P X  |  A  e.  x }  <->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) )
3231a1i 10 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  ( y  e.  ~P X  /\  A  e.  y ) ) )
33 elfg 17582 . . . . 5  |-  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
347, 33syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  ( X filGen { { A } } )  <->  ( y  C_  X  /\  E. x  e.  { { A } } x  C_  y ) ) )
3529, 32, 343bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( y  e.  {
x  e.  ~P X  |  A  e.  x } 
<->  y  e.  ( X
filGen { { A } } ) ) )
3635eqrdv 2294 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) )
377, 36jca 518 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A  e.  X )  ->  ( { { A } }  e.  ( fBas `  X )  /\  { x  e.  ~P X  |  A  e.  x }  =  ( X filGen { { A } } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   {crab 2560    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   |^|cint 3878   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   fBascfbas 17534   filGencfg 17535
This theorem is referenced by:  fixufil  17633  uffixfr  17634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator