MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix2 Unicode version

Theorem uffix2 17619
Description: A classification of fixed ultrafilters. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, X, y

Proof of Theorem uffix2
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17599 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filn0 17557 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
3 intssuni 3884 . . . . . . . 8  |-  ( F  =/=  (/)  ->  |^| F  C_  U. F )
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  |^| F  C_  U. F )
5 filunibas 17576 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
61, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  U. F  =  X )
74, 6sseqtrd 3214 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  |^| F  C_  X )
87sseld 3179 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| F  ->  x  e.  X ) )
98pm4.71rd 616 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| F  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  |^| F ) ) )
10 uffixfr 17618 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| F  <->  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
1110anbi2d 684 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  |^| F )  <-> 
( x  e.  X  /\  F  =  {
y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) ) )
129, 11bitrd 244 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  |^| F  <->  ( x  e.  X  /\  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) ) )
1312exbidv 1612 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  |^| F  <->  E. x ( x  e.  X  /\  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) ) )
14 n0 3464 . 2  |-  ( |^| F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e. 
|^| F )
15 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y }  <->  E. x ( x  e.  X  /\  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
1613, 14, 153bitr4g 279 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( |^| F  =/=  (/)  <->  E. x  e.  X  F  =  { y  e.  ~P X  |  x  e.  y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   ` cfv 5255   Filcfil 17540   UFilcufil 17594
This theorem is referenced by:  uffinfix  17622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596
  Copyright terms: Public domain W3C validator