Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilcmp Structured version   Unicode version

Theorem ufilcmp 18095
 Description: A space is compact iff every ultrafilter converges. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Dec-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilcmp UFL TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ufilcmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17967 . . . . . 6
2 eqid 2442 . . . . . . 7
32fclscmpi 18092 . . . . . 6
41, 3sylan2 462 . . . . 5
54ralrimiva 2795 . . . 4
6 toponuni 17023 . . . . . . 7 TopOn
76fveq2d 5761 . . . . . 6 TopOn
87raleqdv 2916 . . . . 5 TopOn
98adantl 454 . . . 4 UFL TopOn
105, 9syl5ibr 214 . . 3 UFL TopOn
11 ufli 17977 . . . . . . 7 UFL
1211adantlr 697 . . . . . 6 UFL TopOn
13 r19.29 2852 . . . . . . 7
14 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn TopOn
15 simplr 733 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn
16 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13 UFL TopOn
17 fclsss2 18086 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1814, 15, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12 UFL TopOn
19 ssn0 3645 . . . . . . . . . . . . 13
2019ex 425 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11 UFL TopOn
2221expr 600 . . . . . . . . . 10 UFL TopOn
2322com23 75 . . . . . . . . 9 UFL TopOn
2423imp3a 422 . . . . . . . 8 UFL TopOn
2524rexlimdva 2836 . . . . . . 7 UFL TopOn
2613, 25syl5 31 . . . . . 6 UFL TopOn
2712, 26mpan2d 657 . . . . 5 UFL TopOn
2827ralrimdva 2802 . . . 4 UFL TopOn
29 fclscmp 18093 . . . . 5 TopOn
3029adantl 454 . . . 4 UFL TopOn
3128, 30sylibrd 227 . . 3 UFL TopOn
3210, 31impbid 185 . 2 UFL TopOn
33 uffclsflim 18094 . . . 4
3433neeq1d 2620 . . 3
3534ralbiia 2743 . 2
3632, 35syl6bb 254 1 UFL TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  wrex 2712   wss 3306  c0 3613  cuni 4039  cfv 5483  (class class class)co 6110  TopOnctopon 16990  ccmp 17480  cfil 17908  cufil 17962  UFLcufl 17963   cflim 17997   cfcls 17999 This theorem is referenced by:  alexsub  18107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-top 16994  df-topon 16997  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-cmp 17481  df-fil 17909  df-ufil 17964  df-ufl 17965  df-flim 18002  df-fcls 18004
 Copyright terms: Public domain W3C validator