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Theorem ufildr 17964
Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ufildr.1  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
Assertion
Ref Expression
ufildr  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )

Proof of Theorem ufildr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4044 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
2 ufildr.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
32unieqi 4026 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
4 uniun 4035 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
5 0ex 4340 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
65unisn 4032 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
8 un0 3653 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
94, 7, 83eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  U. F
103, 9eqtr2i 2458 . . . . . . . 8  |-  U. F  =  U. J
11 ufilfil 17937 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
12 filunibas 17914 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1410, 13syl5reqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  X  =  U. J )
1514sseq2d 3377 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  <->  x  C_  U. J
) )
161, 15syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  J  ->  x  C_  X ) )
17 eqid 2437 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
1817cldss 17094 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
1918, 15syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  X
) )
2016, 19jaod 371 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  X ) )
21 ufilss 17938 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
22 ssun1 3511 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { (/) } )
2322, 2sseqtr4i 3382 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  J
2423a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  J )
2524sseld 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  J )
)
2624sseld 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  -> 
( X  \  x
)  e.  J ) )
27 filcon 17916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
28 contop 17481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
2911, 27, 283syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Top )
302, 29syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  J  e.  Top )
3130adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3215biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_ 
U. J )
3317iscld2 17093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3431, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3514difeq1d 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( X  \  x )  =  ( U. J  \  x
) )
3635eleq1d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3736adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3834, 37bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  J
) )
3926, 38sylibrd 227 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4025, 39orim12d 813 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4121, 40mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4241ex 425 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4320, 42impbid 185 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  <->  x  C_  X
) )
44 elun 3489 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
45 vex 2960 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4645elpw 3806 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
4743, 44, 463bitr4g 281 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J ) )  <-> 
x  e.  ~P X
) )
4847eqrdv 2435 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3318    u. cun 3319    C_ wss 3321   (/)c0 3629   ~Pcpw 3800   {csn 3815   U.cuni 4016   ` cfv 5455   Topctop 16959   Clsdccld 17081   Conccon 17475   Filcfil 17878   UFilcufil 17932
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-fv 5463  df-fbas 16700  df-top 16964  df-cld 17084  df-con 17476  df-fil 17879  df-ufil 17934
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