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Theorem ufildr 17626
Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ufildr.1  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
Assertion
Ref Expression
ufildr  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )

Proof of Theorem ufildr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 3855 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
2 ufildr.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
32unieqi 3837 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
4 uniun 3846 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
5 0ex 4150 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
65unisn 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3326 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
8 un0 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
94, 7, 83eqtri 2307 . . . . . . . . 9  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  U. F
103, 9eqtr2i 2304 . . . . . . . 8  |-  U. F  =  U. J
11 ufilfil 17599 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
12 filunibas 17576 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1311, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1410, 13syl5reqr 2330 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  X  =  U. J )
1514sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  <->  x  C_  U. J
) )
161, 15syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  J  ->  x  C_  X ) )
17 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
1817cldss 16766 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
1918, 15syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  X
) )
2016, 19jaod 369 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  X ) )
21 ufilss 17600 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
22 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { (/) } )
2322, 2sseqtr4i 3211 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  J
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  J )
2524sseld 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  J )
)
2624sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  -> 
( X  \  x
)  e.  J ) )
27 filcon 17578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
28 contop 17143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Top )
302, 29syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  J  e.  Top )
3130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3215biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_ 
U. J )
3317iscld2 16765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3514difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( X  \  x )  =  ( U. J  \  x
) )
3635eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3736adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3834, 37bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  J
) )
3926, 38sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4025, 39orim12d 811 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4121, 40mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4241ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4320, 42impbid 183 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  <->  x  C_  X
) )
44 elun 3316 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
45 vex 2791 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4645elpw 3631 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
4743, 44, 463bitr4g 279 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J ) )  <-> 
x  e.  ~P X
) )
4847eqrdv 2281 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Conccon 17137   Filcfil 17540   UFilcufil 17594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-top 16636  df-cld 16756  df-con 17138  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-ufil 17596
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