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Theorem ufildr 17678
Description: An ultrafilter gives rise to a connected door topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ufildr.1  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
Assertion
Ref Expression
ufildr  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )

Proof of Theorem ufildr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 3892 . . . . . 6  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
2 ufildr.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( F  u.  { (/)
} )
32unieqi 3874 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
4 uniun 3883 . . . . . . . . . 10  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
5 0ex 4187 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
65unisn 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3360 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
8 un0 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
94, 7, 83eqtri 2340 . . . . . . . . 9  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  U. F
103, 9eqtr2i 2337 . . . . . . . 8  |-  U. F  =  U. J
11 ufilfil 17651 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
12 filunibas 17628 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1311, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1410, 13syl5reqr 2363 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  X  =  U. J )
1514sseq2d 3240 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  <->  x  C_  U. J
) )
161, 15syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  J  ->  x  C_  X ) )
17 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
1817cldss 16822 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  U. J
)
1918, 15syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  ->  x  C_  X
) )
2016, 19jaod 369 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  X ) )
21 ufilss 17652 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F ) )
22 ssun1 3372 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  ( F  u.  { (/) } )
2322, 2sseqtr4i 3245 . . . . . . . . 9  |-  F  C_  J
2423a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  F  C_  J )
2524sseld 3213 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  J )
)
2624sseld 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  -> 
( X  \  x
)  e.  J ) )
27 filcon 17630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
28 contop 17199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
2911, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Top )
302, 29syl5eqel 2400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  J  e.  Top )
3130adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  J  e.  Top )
3215biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  x  C_ 
U. J )
3317iscld2 16821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  C_  U. J )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3514difeq1d 3327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( X  \  x )  =  ( U. J  \  x
) )
3635eleq1d 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( ( X  \  x )  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J
) )
3736adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  J  <->  ( U. J  \  x )  e.  J ) )
3834, 37bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  J
) )
3926, 38sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( X  \  x
)  e.  F  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4025, 39orim12d 811 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
( x  e.  F  \/  ( X  \  x
)  e.  F )  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4121, 40mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) ) )
4241ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) ) )
4320, 42impbid 183 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( (
x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J ) )  <->  x  C_  X
) )
44 elun 3350 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J )
)  <->  ( x  e.  J  \/  x  e.  ( Clsd `  J
) ) )
45 vex 2825 . . . 4  |-  x  e. 
_V
4645elpw 3665 . . 3  |-  ( x  e.  ~P X  <->  x  C_  X
)
4743, 44, 463bitr4g 279 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  ( J  u.  ( Clsd `  J ) )  <-> 
x  e.  ~P X
) )
4847eqrdv 2314 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( J  u.  ( Clsd `  J
) )  =  ~P X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    \ cdif 3183    u. cun 3184    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ~Pcpw 3659   {csn 3674   U.cuni 3864   ` cfv 5292   Topctop 16687   Clsdccld 16809   Conccon 17193   Filcfil 17592   UFilcufil 17646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-fv 5300  df-fbas 16429  df-top 16692  df-cld 16812  df-con 17194  df-fil 17593  df-ufil 17648
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