Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilen Structured version   Unicode version

Theorem ufilen 17954
 Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilen
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ufilen
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7107 . . . . . 6
21brrelex2i 4911 . . . . 5
3 numth3 8342 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 csdfil 17918 . . . 4
64, 5mpancom 651 . . 3
7 filssufil 17936 . . 3
86, 7syl 16 . 2
9 elfvex 5750 . . . . . . 7
109ad2antlr 708 . . . . . 6
11 ufilfil 17928 . . . . . . . 8
12 filelss 17876 . . . . . . . 8
1311, 12sylan 458 . . . . . . 7
1413adantll 695 . . . . . 6
15 ssdomg 7145 . . . . . 6
1610, 14, 15sylc 58 . . . . 5
17 filfbas 17872 . . . . . . . . 9
1811, 17syl 16 . . . . . . . 8
1918adantl 453 . . . . . . 7
20 fbncp 17863 . . . . . . 7
2119, 20sylan 458 . . . . . 6
22 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . 14
23 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . 13
25243ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14
27 dfss4 3567 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 27sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
29 simp3 959 . . . . . . . . . . . . 13
3028, 29eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . 12
31 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . . . 14
3231breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13
3332elrab 3084 . . . . . . . . . . . 12
3425, 30, 33sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
35 ssel 3334 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl5com 28 . . . . . . . . . 10
37363expa 1153 . . . . . . . . 9
3837impancom 428 . . . . . . . 8
3938con3d 127 . . . . . . 7
4039impancom 428 . . . . . 6
4110, 14, 21, 40syl21anc 1183 . . . . 5
42 bren2 7130 . . . . . 6
4342simplbi2 609 . . . . 5
4416, 41, 43sylsyld 54 . . . 4
4544ralrimdva 2788 . . 3
4645reximdva 2810 . 2
478, 46mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  cpw 3791   class class class wbr 4204  com 4837   cdm 4870  cfv 5446   cen 7098   cdom 7099   csdm 7100  ccrd 7814  cfbas 16681  cfil 17869  cufil 17923 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rpss 6514  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-oi 7471  df-card 7818  df-ac 7989  df-cda 8040  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870  df-ufil 17925
 Copyright terms: Public domain W3C validator