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Theorem ufileu 17943
Description: If the ultrafilter containing a given filter is unique, the filter is an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufileu  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  E! f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem ufileu
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17928 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
2 ufilmax 17931 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
323expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  f
)  ->  F  =  f )
43eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  /\  F  C_  f
)  ->  f  =  F )
54ex 424 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
61, 5sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  f  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
76ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )
8 ssid 3359 . . . 4  |-  F  C_  F
9 sseq2 3362 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( F  C_  f  <->  F  C_  F
) )
109eqreu 3118 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  F  C_  F  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f  ->  f  =  F ) )  ->  E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f )
118, 10mp3an2 1267 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  ->  f  =  F ) )  ->  E! f  e.  ( UFil `  X ) F 
C_  f )
127, 11mpdan 650 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  E! f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
13 reu6 3115 . . 3  |-  ( E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f 
<->  E. g  e.  (
UFil `  X ) A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  <->  f  =  g ) )
14 ibibr 333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  g  ->  F  C_  f )  <->  ( f  =  g  ->  ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) ) )
1514pm5.74ri 238 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( F  C_  f  <->  ( F  C_  f  <->  f  =  g ) ) )
16 sseq2 3362 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  ( F  C_  f  <->  F  C_  g
) )
1715, 16bitr3d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( F  C_  f  <->  f  =  g )  <->  F  C_  g
) )
1817rspcva 3042 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( UFil `  X )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) )  ->  F  C_  g )
1918adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  C_  g
)
20 ufilfil 17928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( UFil `  X
)  ->  g  e.  ( Fil `  X ) )
21 filelss 17876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  g )  ->  x  C_  X )
2221ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
2320, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( UFil `  X
)  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  x  C_  X ) )
25 filsspw 17875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  C_  ~P X )
27 difss 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( X 
\  x )  C_  X
28 filtop 17879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  X  e.  F )
30 difexg 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  F  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  _V )
32 elpwg 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  (
( X  \  x
)  e.  ~P X  <->  ( X  \  x ) 
C_  X ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X  \  x )  e.  ~P X 
<->  ( X  \  x
)  C_  X )
)
3427, 33mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ~P X
)
3534snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  { ( X  \  x ) }  C_  ~P X )
3626, 35unssd 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X )
37 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )
38 filn0 17886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
3938ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  =/=  (/) )
40 ssn0 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  C_  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  /\  F  =/=  (/) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
4137, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/) )
42 filelss 17876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  f  C_  X )
4342ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
f  C_  X )
44 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f 
C_  X  <->  ( f  i^i  X )  =  f )
4543, 44sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( f  i^i  X
)  =  f )
4645sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( ( f  i^i 
X )  C_  x  <->  f 
C_  x ) )
47 filss 17877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
f  e.  F  /\  x  C_  X  /\  f  C_  x ) )  ->  x  e.  F )
48473exp2 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( f  e.  F  ->  ( x 
C_  X  ->  (
f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
4948com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  C_  X  ->  ( f  e.  F  ->  ( f 
C_  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
5049imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  X  /\  f  e.  F )  ->  ( f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  ( UFil `  X
) )  ->  (
( x  C_  X  /\  f  e.  F
)  ->  ( f  C_  x  ->  x  e.  F ) ) )
5251imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( f  C_  x  ->  x  e.  F ) )
5346, 52sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( ( f  i^i 
X )  C_  x  ->  x  e.  F ) )
5453con3d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  f  e.  F ) )  -> 
( -.  x  e.  F  ->  -.  (
f  i^i  X )  C_  x ) )
5554expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  x  C_  X
)  ->  ( f  e.  F  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  ( f  i^i  X
)  C_  x )
) )
5655com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  x  C_  X
)  ->  ( -.  x  e.  F  ->  ( f  e.  F  ->  -.  ( f  i^i  X
)  C_  x )
) )
5756impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( f  e.  F  ->  -.  ( f  i^i 
X )  C_  x
) )
5857imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  -.  ( f  i^i 
X )  C_  x
)
59 ineq2 3528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( g  =  ( X  \  x )  ->  (
f  i^i  g )  =  ( f  i^i  ( X  \  x
) ) )
6059neeq1d 2611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g  =  ( X  \  x )  ->  (
( f  i^i  g
)  =/=  (/)  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
6160ralsng 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) ) )
62 inssdif0 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( f  i^i  X ) 
C_  x  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =  (/) )
6362necon3bbii 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  ( f  i^i  X
)  C_  x  <->  ( f  i^i  ( X  \  x
) )  =/=  (/) )
6461, 63syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  (
f  i^i  X )  C_  x ) )
6531, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( A. g  e. 
{ ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  ( f  i^i  X )  C_  x
) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  ( A. g  e. 
{ ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/)  <->  -.  ( f  i^i  X )  C_  x
) )
6758, 66mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  f  e.  F )  ->  A. g  e.  {
( X  \  x
) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/) )
6867ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  ( f  i^i  g )  =/=  (/) )
69 filfbas 17872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
7069ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
71 difssd 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  C_  X )
72 ssdif0 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( X 
C_  x  <->  ( X  \  x )  =  (/) )
73 eqss 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  X  <->  ( x  C_  X  /\  X  C_  x ) )
7473simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x 
C_  X  ->  ( X  C_  x  ->  x  =  X ) )
75 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  F  <->  X  e.  F ) )
7675notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  x  e.  F  <->  -.  X  e.  F ) )
7776biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  x  e.  F  -> 
( x  =  X  ->  -.  X  e.  F ) )
7874, 77sylan9 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F
)  ->  ( X  C_  x  ->  -.  X  e.  F ) )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  C_  x  ->  -.  X  e.  F
) )
8072, 79syl5bir 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X  \  x )  =  (/)  ->  -.  X  e.  F
) )
8180necon2ad 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  e.  F  ->  ( X  \  x
)  =/=  (/) ) )
8229, 81mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  =/=  (/) )
83 snfbas 17890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  \  x
)  C_  X  /\  ( X  \  x
)  =/=  (/)  /\  X  e.  F )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X ) )
8471, 82, 29, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  { ( X  \  x ) }  e.  ( fBas `  X )
)
85 fbunfip 17893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  <->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/) ) )
8670, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  <->  A. f  e.  F  A. g  e.  { ( X  \  x ) }  (
f  i^i  g )  =/=  (/) ) )
8768, 86mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )
88 fsubbas 17891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  F  ->  (
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  <->  ( ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/) 
e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) ) )
8929, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  ( fBas `  X
)  <->  ( ( F  u.  { ( X 
\  x ) } )  C_  ~P X  /\  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) ) )
9036, 41, 87, 89mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )
)
91 fgcl 17902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
93 filssufil 17936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )
95 r19.29 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. f  e.  (
UFil `  X )
( F  C_  f  <->  f  =  g )  /\  E. f  e.  ( UFil `  X ) ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f ) )
96 bi1 179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  C_  f  <->  f  =  g )  ->  ( F  C_  f  ->  f  =  g ) )
97 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
98 snex 4397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  { ( X  \  x ) }  e.  _V
99 unexg 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  {
( X  \  x
) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  { ( X  \  x
) } )  e. 
_V )
10097, 98, 99sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  e. 
_V )
101 ssfii 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F  u.  { ( X  \  x ) } )  e.  _V  ->  ( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
102100, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )
103 ssfg 17896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
10490, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
105102, 104sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( F  u.  {
( X  \  x
) } )  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
106105unssad 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  ->  F  C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) ) )
107 sstr2 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F 
C_  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  F  C_  f
) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  F  C_  f
) )
109108imim1d 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( F  C_  f  ->  f  =  g )  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f  ->  f  =  g ) ) )
110 sseq2 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  =  g  ->  (
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  <->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  g ) )
111110biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f  ->  (
f  =  g  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
112111a2i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  f  ->  f  =  g )  -> 
( ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) )
11396, 109, 112syl56 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  ( ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  f  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) ) )
114113imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
115114rexlimdvw 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( E. f  e.  ( UFil `  X
) ( ( F 
C_  f  <->  f  =  g )  /\  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  f )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
)
11695, 115syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( ( A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  /\  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  f )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) 
C_  g ) )
11794, 116mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) ) )  C_  g ) )
118117imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  /\  A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F 
C_  f  <->  f  =  g ) )  -> 
( X filGen ( fi
`  ( F  u.  { ( X  \  x
) } ) ) )  C_  g )
119118an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) )  C_  g )
120 snidg 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  \  x )  e.  _V  ->  ( X  \  x )  e. 
{ ( X  \  x ) } )
12131, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  { ( X  \  x ) } )
122 elun2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  \  x )  e.  { ( X 
\  x ) }  ->  ( X  \  x )  e.  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) )
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ( F  u.  { ( X 
\  x ) } ) )
124105, 123sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  ( x  C_  X  /\  -.  x  e.  F ) )  -> 
( X  \  x
)  e.  ( X
filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
125124adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X  \  x )  e.  ( X filGen ( fi `  ( F  u.  { ( X  \  x ) } ) ) ) )
126119, 125sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( X  \  x )  e.  g )
127 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  g  e.  ( UFil `  X )
)
128 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  x  C_  X
)
129 ufilb 17930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  e.  ( UFil `  X )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  g  <->  ( X  \  x )  e.  g ) )
130127, 128, 129syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  ( -.  x  e.  g  <->  ( X  \  x )  e.  g ) )
131126, 130mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  ( x 
C_  X  /\  -.  x  e.  F )
)  ->  -.  x  e.  g )
132131expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  x  C_  X )  ->  ( -.  x  e.  F  ->  -.  x  e.  g ) )
133132con4d 99 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  g  e.  ( UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  /\  x  C_  X )  ->  (
x  e.  g  ->  x  e.  F )
)
134133ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  C_  X  ->  ( x  e.  g  ->  x  e.  F ) ) )
135134com23 74 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  ( x 
C_  X  ->  x  e.  F ) ) )
13624, 135mpdd 38 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  ( x  e.  g  ->  x  e.  F ) )
137136ssrdv 3346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  g  C_  F )
13819, 137eqssd 3357 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  =  g )
139 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  g  e.  ( UFil `  X )
)
140138, 139eqeltrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  (
UFil `  X )
)  /\  A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g ) )  ->  F  e.  ( UFil `  X )
)
141140ex 424 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  g  e.  ( UFil `  X
) )  ->  ( A. f  e.  ( UFil `  X ) ( F  C_  f  <->  f  =  g )  ->  F  e.  ( UFil `  X
) ) )
142141rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. g  e.  ( UFil `  X ) A. f  e.  ( UFil `  X
) ( F  C_  f 
<->  f  =  g )  ->  F  e.  (
UFil `  X )
) )
14313, 142syl5bi 209 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E! f  e.  ( UFil `  X ) F  C_  f  ->  F  e.  (
UFil `  X )
) )
14412, 143impbid2 196 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  E! f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E!wreu 2699   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ficfi 7407   fBascfbas 16681   filGencfg 16682   Filcfil 17869   UFilcufil 17923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rpss 6514  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-card 7818  df-ac 7989  df-cda 8040  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870  df-ufil 17925
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