MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilfil Structured version   Unicode version

Theorem ufilfil 17928
Description: An ultrafilter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilfil  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem ufilfil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isufil 17927 . 2  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( x  e.  F  \/  ( X  \  x )  e.  F ) ) )
21simplbi 447 1  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    e. wcel 1725   A.wral 2697    \ cdif 3309   ~Pcpw 3791   ` cfv 5446   Filcfil 17869   UFilcufil 17923
This theorem is referenced by:  ufilb  17930  isufil2  17932  ufprim  17933  trufil  17934  ufileu  17943  filufint  17944  uffixfr  17947  uffix2  17948  uffixsn  17949  uffinfix  17951  cfinufil  17952  ufilen  17954  ufildr  17955  fmufil  17983  ufldom  17986  uffclsflim  18055  ufilcmp  18056  uffcfflf  18063  alexsublem  18067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ufil 17925
  Copyright terms: Public domain W3C validator