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Theorem ufinffr 17624
Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
ufinffr  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X

Proof of Theorem ufinffr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ominf 7075 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 domfi 7084 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  om  ~<_  A )  ->  om  e.  Fin )
32expcom 424 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
41, 3mtoi 169 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
5 cfinfil 17588 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
64, 5syl3an3 1217 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X ) )
7 filssufil 17607 . . 3  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
9 elpw2g 4174 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  e.  ~P X  <->  A 
C_  X ) )
109biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ~P X
)
11103adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  ~P X )
12 0fin 7087 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (/)  e.  Fin )
14 difeq2 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
15 difid 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
1716eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1817elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( A  e.  ~P X  /\  (/)  e.  Fin ) )
1911, 13, 18sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
20 ssel 3174 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  A  e.  f ) )
2119, 20syl5com 26 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  A  e.  f ) )
22 intss 3883 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_ 
|^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
23 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
2423snid 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
{ y }
25 eldifn 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  \  { y } )  ->  -.  y  e.  { y } )
2624, 25mt2 170 . . . . . . . . . 10  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
27 elinti 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  y  e.  ( A  \  { y } ) ) )
2826, 27mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
29 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  { y } )  C_  A
30 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  C_  X )
3129, 30syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  C_  X )
32 elpw2g 4174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
33323ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
3431, 33mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P X
)
35 snfi 6941 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y }  e.  Fin
36 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) ) )
37 eldif 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  {
y } ) )
3837notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  -.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
39 iman 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
4038, 39bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )
4140anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
4236, 41bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
43 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )  ->  x  e.  { y } )
4442, 43sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  ->  x  e.  {
y } )
4544ssriv 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  C_  { y }
46 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) ) 
C_  { y } )  ->  ( A  \  ( A  \  {
y } ) )  e.  Fin )
4735, 45, 46mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
4847a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin )
49 difeq2 3288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
5049eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
5150elrab 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( ( A  \  { y } )  e.  ~P X  /\  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
5234, 48, 51sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
5328, 52nsyl3 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  -.  y  e.  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
5453eq0rdv 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  =  (/) )
5554sseq2d 3206 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( |^| f  C_  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  |^| f  C_  (/) ) )
5622, 55syl5ib 210 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_  (/) ) )
57 ss0 3485 . . . . 5  |-  ( |^| f  C_  (/)  ->  |^| f  =  (/) )
5856, 57syl6 29 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  =  (/) ) )
5921, 58jcad 519 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
6059reximdv 2654 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
618, 60mpd 14 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   Filcfil 17540   UFilcufil 17594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-card 7572  df-ac 7743  df-cda 7794  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596
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