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Theorem ufinffr 17953
Description: An infinite subset is contained in a free ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
ufinffr  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    f, X

Proof of Theorem ufinffr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ominf 7313 . . . . 5  |-  -.  om  e.  Fin
2 domfi 7322 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  om  ~<_  A )  ->  om  e.  Fin )
32expcom 425 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  om  e.  Fin ) )
41, 3mtoi 171 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  A  e.  Fin )
5 cfinfil 17917 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
) )
64, 5syl3an3 1219 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X ) )
7 filssufil 17936 . . 3  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  C_  f )
9 elpw2g 4355 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  e.  ~P X  <->  A 
C_  X ) )
109biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  ~P X
)
11103adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  ~P X )
12 0fin 7328 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (/)  e.  Fin )
14 difeq2 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
15 difid 3688 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
1716eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
1817elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  ( A  e.  ~P X  /\  (/)  e.  Fin ) )
1911, 13, 18sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
20 ssel 3334 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  A  e.  f ) )
2119, 20syl5com 28 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  A  e.  f ) )
22 intss 4063 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_ 
|^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
23 neldifsn 3921 . . . . . . . . . 10  |-  -.  y  e.  ( A  \  {
y } )
24 elinti 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  ( ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  y  e.  ( A  \  { y } ) ) )
2523, 24mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  |^| { x  e. 
~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  ->  -.  ( A  \  {
y } )  e. 
{ x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  A  C_  X )
2726ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  C_  X )
28 elpw2g 4355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
29283ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  (
( A  \  {
y } )  e. 
~P X  <->  ( A  \  { y } ) 
C_  X ) )
3027, 29mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  ~P X
)
31 snfi 7179 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y }  e.  Fin
32 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) ) )
33 eldif 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  \  { y } )  <-> 
( x  e.  A  /\  -.  x  e.  {
y } ) )
3433notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  -.  ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
35 iman 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  -.  x  e.  { y } ) )
3634, 35bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  ( A 
\  { y } )  <->  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )
3736anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  -.  x  e.  ( A  \  { y } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
3832, 37bitri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) ) )
39 pm3.35 571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( x  e.  A  ->  x  e.  { y } ) )  ->  x  e.  { y } )
4038, 39sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) )  ->  x  e.  {
y } )
4140ssriv 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  C_  { y }
42 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ( A  \ 
( A  \  {
y } ) ) 
C_  { y } )  ->  ( A  \  ( A  \  {
y } ) )  e.  Fin )
4331, 41, 42mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin )
45 difeq2 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  { y } ) ) )
4645eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  \  { y } )  ->  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin 
<->  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4746elrab 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  \  { y } )  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <-> 
( ( A  \  { y } )  e.  ~P X  /\  ( A  \  ( A  \  { y } ) )  e.  Fin ) )
4830, 44, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( A  \  { y } )  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
4925, 48nsyl3 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  -.  y  e.  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } )
5049eq0rdv 3654 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  =  (/) )
5150sseq2d 3368 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( |^| f  C_  |^| { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin }  <->  |^| f  C_  (/) ) )
5222, 51syl5ib 211 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  C_  (/) ) )
53 ss0 3650 . . . . 5  |-  ( |^| f  C_  (/)  ->  |^| f  =  (/) )
5452, 53syl6 31 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  |^| f  =  (/) ) )
5521, 54jcad 520 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
5655reximdv 2809 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f  e.  ( UFil `  X ) { x  e.  ~P X  |  ( A  \  x )  e.  Fin } 
C_  f  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) ) )
578, 56mpd 15 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  A  C_  X  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) ( A  e.  f  /\  |^| f  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   |^|cint 4042   class class class wbr 4204   omcom 4837   ` cfv 5446    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   Filcfil 17869   UFilcufil 17923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-rpss 6514  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-card 7818  df-ac 7989  df-cda 8040  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-fil 17870  df-ufil 17925
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