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Theorem ufldom 17947
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables  u  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 7081 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  <->  E. x ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X
) ) )
2 bren 7076 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
~~  x  <->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
32biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( Y 
~~  x  ->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
4 ssufl 17903 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  x  C_  X )  ->  x  e. UFL )
5 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  x  e. UFL )
6 filfbas 17833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  g  e.  ( fBas `  Y )
)
76adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  g  e.  (
fBas `  Y )
)
8 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  f : Y --> x )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  f : Y --> x )
10 fmfil 17929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
)  /\  f : Y
--> x )  ->  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )
115, 7, 9, 10syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  e.  ( Fil `  x ) )
12 ufli 17899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. UFL  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )  ->  E. y  e.  ( UFil `  x
) ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  C_  y )
135, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. y  e.  (
UFil `  x )
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
14 f1odm 5637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  Y )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  dom  f  =  Y )
16 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  f  e. 
_V
1716dmex 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  f  e.  _V
1815, 17syl6eqelr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  Y  e.  _V )
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( UFil `  x ) )
21 f1ocnv 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
2221ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
23 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' f : x -1-1-onto-> Y  ->  `' f : x --> Y )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x --> Y )
25 fmufil 17944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  ( UFil `  x )  /\  `' f : x --> Y )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  e.  (
UFil `  Y )
)
2619, 20, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y ) )
27 f1ococnv1 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y ) )
2827ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y )
)
2928oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( Y  FilMap  ( `' f  o.  f ) )  =  ( Y 
FilMap  (  _I  |`  Y ) ) )
3029fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g ) )
315adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  x  e. UFL )
327adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  Y ) )
338ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
f : Y --> x )
34 fmco 17946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( `' f : x --> Y  /\  f : Y --> x ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  ( `' f  o.  f ) ) `  g )  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) ) )
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 ( ( x 
FilMap  f ) `  g
) ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  Y ) )
37 fmid 17945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g )  =  g )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y )
) `  g )  =  g )
3930, 35, 383eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) )  =  g )
4011adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( Fil `  x
) )
41 filfbas 17833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
)  ->  ( (
x  FilMap  f ) `  g )  e.  (
fBas `  x )
)
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
) )
43 ufilfil 17889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( UFil `  x
)  ->  y  e.  ( Fil `  x ) )
44 filfbas 17833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( Fil `  x
)  ->  y  e.  ( fBas `  x )
)
4520, 43, 443syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( fBas `  x ) )
46 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
47 fmss 17931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
)  /\  y  e.  ( fBas `  x )
)  /\  ( `' f : x --> Y  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) )  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) ) 
C_  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y ) )
4939, 48eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
50 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  ->  (
g  C_  u  <->  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) ) )
5150rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y )  /\  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
5226, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y ) g 
C_  u )
5313, 52rexlimddv 2794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
5453ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
55 isufl 17898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
)
5618, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y
) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
) )
5754, 56mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
5857ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL )
)
5958exlimiv 1641 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL ) )
6059imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
613, 4, 60syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( Y  ~~  x  /\  ( X  e. UFL  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6261an12s 777 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6362ex 424 . . . 4  |-  ( X  e. UFL  ->  ( ( Y 
~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL ) )
6463exlimdv 1643 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( E. x
( Y  ~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
)
651, 64sylbid 207 . 2  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  ->  Y  e. UFL )
)
6665imp 419 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    _I cid 4453   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839    o. ccom 4841   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   fBascfbas 16644   Filcfil 17830   UFilcufil 17884  UFLcufl 17885    FilMap cfm 17918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-ufil 17886  df-ufl 17887  df-fm 17923
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