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Theorem ufldom 17759
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables  u  x  f  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 6964 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  <->  E. x ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X
) ) )
2 bren 6959 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
~~  x  <->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
32biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( Y 
~~  x  ->  E. f 
f : Y -1-1-onto-> x )
4 ssufl 17715 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e. UFL  /\  x  C_  X )  ->  x  e. UFL )
5 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  x  e. UFL )
6 filfbas 17645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  g  e.  ( fBas `  Y )
)
76adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  g  e.  (
fBas `  Y )
)
8 f1of 5555 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  f : Y --> x )
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  f : Y --> x )
10 fmfil 17741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
)  /\  f : Y
--> x )  ->  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )
115, 7, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  e.  ( Fil `  x ) )
12 ufli 17711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. UFL  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
) )  ->  E. y  e.  ( UFil `  x
) ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  C_  y )
135, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. y  e.  (
UFil `  x )
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
14 f1odm 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  dom  f  =  Y )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  dom  f  =  Y )
16 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  f  e. 
_V
1716dmex 5023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  f  e.  _V
1815, 17syl6eqelr 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  Y  e.  _V )
20 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( UFil `  x ) )
21 f1ocnv 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
2221ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x -1-1-onto-> Y )
23 f1of 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' f : x -1-1-onto-> Y  ->  `' f : x --> Y )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  `' f : x --> Y )
25 fmufil 17756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  y  e.  ( UFil `  x )  /\  `' f : x --> Y )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  e.  (
UFil `  Y )
)
2619, 20, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y ) )
27 f1ococnv1 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y ) )
2827ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( `' f  o.  f )  =  (  _I  |`  Y )
)
2928oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( Y  FilMap  ( `' f  o.  f ) )  =  ( Y 
FilMap  (  _I  |`  Y ) ) )
3029fveq1d 5610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g ) )
315adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  x  e. UFL )
327adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( fBas `  Y ) )
338ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
f : Y --> x )
34 fmco 17758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  x  e. UFL  /\  g  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( `' f : x --> Y  /\  f : Y --> x ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  ( `' f  o.  f ) ) `  g )  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) ) )
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  ( `' f  o.  f
) ) `  g
)  =  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 ( ( x 
FilMap  f ) `  g
) ) )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  e.  ( Fil `  Y ) )
37 fmid 17757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y ) ) `  g )  =  g )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  (  _I  |`  Y )
) `  g )  =  g )
3930, 35, 383eqtr3d 2398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) )  =  g )
4011adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( Fil `  x
) )
41 filfbas 17645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  FilMap  f ) `
 g )  e.  ( Fil `  x
)  ->  ( (
x  FilMap  f ) `  g )  e.  (
fBas `  x )
)
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
) )
43 ufilfil 17701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( UFil `  x
)  ->  y  e.  ( Fil `  x ) )
4420, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( Fil `  x ) )
45 filfbas 17645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( Fil `  x
)  ->  y  e.  ( fBas `  x )
)
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
y  e.  ( fBas `  x ) )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y )
48 fmss 17743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Y  e.  _V  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g )  e.  ( fBas `  x
)  /\  y  e.  ( fBas `  x )
)  /\  ( `' f : x --> Y  /\  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  ( ( x  FilMap  f ) `  g ) )  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
4919, 42, 46, 24, 47, 48syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  `' f ) `  (
( x  FilMap  f ) `
 g ) ) 
C_  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y ) )
5039, 49eqsstr3d 3289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  -> 
g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `
 y ) )
51 sseq2 3276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( ( Y 
FilMap  `' f ) `  y )  ->  (
g  C_  u  <->  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) ) )
5251rspcev 2960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
)  e.  ( UFil `  Y )  /\  g  C_  ( ( Y  FilMap  `' f ) `  y
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
5326, 50, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  (
y  e.  ( UFil `  x )  /\  (
( x  FilMap  f ) `
 g )  C_  y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y ) g 
C_  u )
5453expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y
) )  /\  y  e.  ( UFil `  x
) )  ->  (
( ( x  FilMap  f ) `  g ) 
C_  y  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
) )
5554rexlimdva 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( E. y  e.  ( UFil `  x
) ( ( x 
FilMap  f ) `  g
)  C_  y  ->  E. u  e.  ( UFil `  Y ) g  C_  u ) )
5613, 55mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  /\  g  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
5756ralrimiva 2702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
)
58 isufl 17710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y ) E. u  e.  (
UFil `  Y )
g  C_  u )
)
5918, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. g  e.  ( Fil `  Y
) E. u  e.  ( UFil `  Y
) g  C_  u
) )
6057, 59mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
6160ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL )
)
6261exlimiv 1634 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  ->  ( x  e. UFL  ->  Y  e. UFL ) )
6362imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( E. f  f : Y -1-1-onto-> x  /\  x  e. UFL )  ->  Y  e. UFL )
643, 4, 63syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( Y  ~~  x  /\  ( X  e. UFL  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6564an12s 776 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( Y  ~~  x  /\  x  C_  X ) )  ->  Y  e. UFL )
6665ex 423 . . . 4  |-  ( X  e. UFL  ->  ( ( Y 
~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL ) )
6766exlimdv 1636 . . 3  |-  ( X  e. UFL  ->  ( E. x
( Y  ~~  x  /\  x  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
)
681, 67sylbid 206 . 2  |-  ( X  e. UFL  ->  ( Y  ~<_  X  ->  Y  e. UFL )
)
6968imp 418 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  ~<_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1541    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   class class class wbr 4104    _I cid 4386   `'ccnv 4770   dom cdm 4771    |` cres 4773    o. ccom 4775   -->wf 5333   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    ~~ cen 6948    ~<_ cdom 6949   fBascfbas 16471   Filcfil 17642   UFilcufil 17696  UFLcufl 17697    FilMap cfm 17730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-fin 6955  df-fi 7255  df-rest 13426  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-fil 17643  df-ufil 17698  df-ufl 17699  df-fm 17735
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