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Theorem ufprim 17894
Description: An ultrafilter is a prime filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufprim  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )

Proof of Theorem ufprim
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17889 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
213ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
32adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  e.  F )
5 unss 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
65biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
763adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
9 ssun1 3470 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
11 filss 17838 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  A  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
123, 4, 8, 10, 11syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
1312ex 424 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
142adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
15 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  e.  F )
167adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
17 ssun2 3471 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
19 filss 17838 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( B  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  B  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
2014, 15, 16, 18, 19syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
2120ex 424 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( B  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
2213, 21jaod 370 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  ->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
23 ufilb 17891 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
24233adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F
) )
2623ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
27 difun2 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
28 uncom 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
2928difeq1i 3421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3027, 29eqtr3i 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3130ineq2i 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
32 indifcom 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  ( B  \  A ) )
33 indifcom 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
3431, 32, 333eqtr4i 2434 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )
35 filin 17839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  u.  B )  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
362, 35syl3an1 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
3734, 36syl5eqel 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
38 simp13 989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  C_  X )
39 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) ) 
C_  B )
41 filss 17838 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F  /\  B  C_  X  /\  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B ) )  ->  B  e.  F )
4226, 37, 38, 40, 41syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  e.  F )
43423expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( ( X 
\  A )  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4425, 43sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4544orrd 368 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( A  e.  F  \/  B  e.  F ) )
4645ex 424 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  F  -> 
( A  e.  F  \/  B  e.  F
) ) )
4722, 46impbid 184 1  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ` cfv 5413   Filcfil 17830   UFilcufil 17884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-fbas 16654  df-fil 17831  df-ufil 17886
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