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Theorem ufprim 17700
Description: An ultrafilter is a prime filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufprim  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )

Proof of Theorem ufprim
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17695 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
213ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
4 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  e.  F )
5 unss 3425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
65biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
763adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
9 ssun1 3414 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
109a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
11 filss 17644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  A  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
123, 4, 8, 10, 11syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
1312ex 423 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
142adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
15 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  e.  F )
167adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
17 ssun2 3415 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1817a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
19 filss 17644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( B  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  B  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
2014, 15, 16, 18, 19syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
2120ex 423 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( B  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
2213, 21jaod 369 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  ->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
23 ufilb 17697 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
24233adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F
) )
2623ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
27 difun2 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
28 uncom 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
2928difeq1i 3366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3027, 29eqtr3i 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3130ineq2i 3443 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
32 indifcom 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  ( B  \  A ) )
33 indifcom 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
3431, 32, 333eqtr4i 2388 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )
35 filin 17645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  u.  B )  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
362, 35syl3an1 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
3734, 36syl5eqel 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
38 simp13 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  C_  X )
39 inss1 3465 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B
4039a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) ) 
C_  B )
41 filss 17644 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F  /\  B  C_  X  /\  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B ) )  ->  B  e.  F )
4226, 37, 38, 40, 41syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  e.  F )
43423expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( ( X 
\  A )  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4425, 43sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4544orrd 367 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( A  e.  F  \/  B  e.  F ) )
4645ex 423 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  F  -> 
( A  e.  F  \/  B  e.  F
) ) )
4722, 46impbid 183 1  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1710    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ` cfv 5334   Filcfil 17636   UFilcufil 17690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fv 5342  df-fbas 16473  df-fil 17637  df-ufil 17692
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