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Theorem ufprim 17946
Description: An ultrafilter is a prime filter. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufprim  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )

Proof of Theorem ufprim
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17941 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( UFil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
213ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
4 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  e.  F )
5 unss 3523 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
65biimpi 188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
763adant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
9 ssun1 3512 . . . . . 6  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  ( A  u.  B ) )
11 filss 17890 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  A  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
123, 4, 8, 10, 11syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  A  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
1312ex 425 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
142adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
15 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  e.  F )
167adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  C_  X )
17 ssun2 3513 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  B  C_  ( A  u.  B ) )
19 filss 17890 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( B  e.  F  /\  ( A  u.  B
)  C_  X  /\  B  C_  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( A  u.  B )  e.  F
)
2014, 15, 16, 18, 19syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  B  e.  F )  ->  ( A  u.  B
)  e.  F )
2120ex 425 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( B  e.  F  ->  ( A  u.  B )  e.  F ) )
2213, 21jaod 371 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  ->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
23 ufilb 17943 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
24233adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F ) )
2524adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  <->  ( X  \  A )  e.  F
) )
2623ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
27 difun2 3709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
28 uncom 3493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
2928difeq1i 3463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3027, 29eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
\  A )  =  ( ( A  u.  B )  \  A
)
3130ineq2i 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( X  i^i  ( B  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
32 indifcom 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  ( B  \  A ) )
33 indifcom 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( X  i^i  (
( A  u.  B
)  \  A )
)
3431, 32, 333eqtr4i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )
35 filin 17891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ( A  u.  B )  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
362, 35syl3an1 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( ( A  u.  B )  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
3734, 36syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F )
38 simp13 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  C_  X )
39 inss1 3563 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B
4039a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  -> 
( B  i^i  ( X  \  A ) ) 
C_  B )
41 filss 17890 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( B  i^i  ( X  \  A ) )  e.  F  /\  B  C_  X  /\  ( B  i^i  ( X  \  A ) )  C_  B ) )  ->  B  e.  F )
4226, 37, 38, 40, 41syl13anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F  /\  ( X  \  A )  e.  F )  ->  B  e.  F )
43423expia 1156 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( ( X 
\  A )  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4425, 43sylbid 208 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( -.  A  e.  F  ->  B  e.  F ) )
4544orrd 369 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  /\  ( A  u.  B
)  e.  F )  ->  ( A  e.  F  \/  B  e.  F ) )
4645ex 425 . 2  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  u.  B
)  e.  F  -> 
( A  e.  F  \/  B  e.  F
) ) )
4722, 46impbid 185 1  |-  ( ( F  e.  ( UFil `  X )  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( A  e.  F  \/  B  e.  F
)  <->  ( A  u.  B )  e.  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ` cfv 5457   Filcfil 17882   UFilcufil 17936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-fbas 16704  df-fil 17883  df-ufil 17938
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