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Theorem ulmbdd 20182
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmbdd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmbdd.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulmbdd.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
ulmbdd.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, G, x, z    ph, k, x, z    S, k, x, z   
k, M, z    k, Z, x, z
Allowed substitution hint:    M( x)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmbdd.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4 eqidd 2389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5 eqidd 2389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
6 ulmbdd.u . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
7 1rp 10549 . . . 4  |-  1  e.  RR+
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 20170 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
)
101r19.2uz 12083 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  1  ->  E. k  e.  Z  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
12 r19.26 2782 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_  x  /\  A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1 ) )
13 peano2re 9172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
15 ulmcl 20165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
166, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
1716ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  G : S --> CC )
18 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
z  e.  S )
1917, 18ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
2019abscld 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
213ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
22 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
k  e.  Z )
2321, 22ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
24 elmapi 6975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( F `  k
) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
2726abscld 12166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
2819, 26subcld 9344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  CC )
2928abscld 12166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  e.  RR )
3027, 29readdcld 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  +  ( abs `  ( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) ) )  e.  RR )
3114adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
3226, 19pncan3d 9347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  z )  +  ( ( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
3332fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  +  ( ( G `  z )  -  ( ( F `
 k ) `  z ) ) ) )  =  ( abs `  ( G `  z
) ) )
3426, 28abstrid 12186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  +  ( ( G `  z )  -  ( ( F `
 k ) `  z ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  +  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  +  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  x  e.  RR )
37 1re 9024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
1  e.  RR )
39 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
4019, 26abssubd 12183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) )
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1 )
4240, 41eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1 )
43 ltle 9097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 ) )
4429, 37, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 9577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  +  ( abs `  ( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) ) )  <_ 
( x  +  1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 9160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  +  1 ) )
4847expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  +  1 ) ) )
4948ralimdva 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( x  + 
1 ) ) )
50 breq2 4158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  +  1 ) ) )
5150ralbidv 2670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  +  1 ) ) )
5251rspcev 2996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( x  + 
1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y )
5314, 49, 52ee12an 1369 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y ) )
5412, 53syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y ) )
5554exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
) )
5655rexlimdva 2774 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
)
58 breq2 4158 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  x
) )
5958ralbidv 2670 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  x
) )
6059cbvrexv 2877 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
y  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
6157, 60syl6ib 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  x )
)
6261rexlimdva 2774 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x ) )
6310, 62syl5 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  x )
)
649, 63mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   class class class wbr 4154   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   CCcc 8922   RRcr 8923   1c1 8925    + caddc 8927    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   RR+crp 10545   abscabs 11967   ~~> uculm 20160
This theorem is referenced by:  mtestbdd  20189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-ulm 20161
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