MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmbdd Structured version   Unicode version

Theorem ulmbdd 20304
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmbdd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmbdd.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulmbdd.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
ulmbdd.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, G, x, z    ph, k, x, z    S, k, x, z   
k, M, z    k, Z, x, z
Allowed substitution hint:    M( x)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmbdd.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 ulmbdd.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
4 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5 eqidd 2436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
6 ulmbdd.u . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
7 1rp 10606 . . . 4  |-  1  e.  RR+
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 20292 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
)
101r19.2uz 12145 . . 3  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  1  ->  E. k  e.  Z  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )
11 ulmbdd.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
12 r19.26 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  S  (
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  <->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_  x  /\  A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1 ) )
13 peano2re 9229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
15 ulmcl 20287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
166, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
1716ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  G : S --> CC )
18 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
z  e.  S )
1917, 18ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
2019abscld 12228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
213ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
22 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
k  e.  Z )
2321, 22ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
24 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( F `  k
) : S --> CC )
2625, 18ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  e.  CC )
2726abscld 12228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
2819, 26subcld 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  CC )
2928abscld 12228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  e.  RR )
3027, 29readdcld 9105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  +  ( abs `  ( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) ) )  e.  RR )
3114adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
3226, 19pncan3d 9404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( ( F `
 k ) `  z )  +  ( ( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  =  ( G `
 z ) )
3332fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  +  ( ( G `  z )  -  ( ( F `
 k ) `  z ) ) ) )  =  ( abs `  ( G `  z
) ) )
3426, 28abstrid 12248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  +  ( ( G `  z )  -  ( ( F `
 k ) `  z ) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  +  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) ) )
3533, 34eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  +  ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) ) ) )
36 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  ->  x  e.  RR )
37 1re 9080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
1  e.  RR )
39 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x )
4019, 26abssubd 12245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) )
41 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1 )
4240, 41eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1 )
43 ltle 9153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 ) )
4429, 37, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 ) )
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  (
( G `  z
)  -  ( ( F `  k ) `
 z ) ) )  <_  1 )
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 9634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  +  ( abs `  ( ( G `  z )  -  (
( F `  k
) `  z )
) ) )  <_ 
( x  +  1 ) )
4720, 30, 31, 35, 46letrd 9217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  ( z  e.  S  /\  ( ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1
) ) )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  +  1 ) )
4847expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  /\  z  e.  S
)  ->  ( (
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  -> 
( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  +  1 ) ) )
4948ralimdva 2776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( x  + 
1 ) ) )
50 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  +  1 ) ) )
5150ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  +  1 ) ) )
5251rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( x  + 
1 ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y )
5314, 49, 52ee12an 1372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y ) )
5412, 53syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A. z  e.  S  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  x  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1 )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y ) )
5554exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  Z )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
) )
5655rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( F `  k ) `
 z ) )  <_  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
) )
5711, 56mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  y )
)
58 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( G `  z )
)  <_  y  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  x
) )
5958ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  y  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  x
) )
6059cbvrexv 2925 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
y  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
6157, 60syl6ib 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  x )
)
6261rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  Z  A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x ) )
6310, 62syl5 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  1  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  x )
)
649, 63mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   CCcc 8978   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   abscabs 12029   ~~> uculm 20282
This theorem is referenced by:  mtestbdd  20311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-ulm 20283
  Copyright terms: Public domain W3C validator