MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcau2 Structured version   Unicode version

Theorem ulmcau2 20317
Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every 
0  <  x there is a  j such that for all  j  <_  k ,  m the functions  F ( k ) and  F ( m ) are uniformly within  x of each other on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcau.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcau.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ulmcau.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmcau2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
Distinct variable groups:    j, k, m, x, z, F    ph, j,
k, m, x, z    S, j, k, m, x, z    j, Z, k, m, x, z    j, M, k, z
Allowed substitution hints:    M( x, m)    V( x, z, j, k, m)

Proof of Theorem ulmcau2
StepHypRef Expression
1 ulmcau.z . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmcau.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 ulmcau.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 ulmcau.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
51, 2, 3, 4ulmcau 20316 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 j ) `  z ) ) )  <  x ) )
61, 2, 3, 4ulmcaulem 20315 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  j ) `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>= `  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( ( F `
 m ) `  z ) ) )  <  x ) )
75, 6bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. m  e.  ( ZZ>=
`  k ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( ( F `  m ) `  z
) ) )  < 
x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   CCcc 8993    < clt 9125    - cmin 9296   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   abscabs 12044   ~~> uculm 20297
This theorem is referenced by:  ulmdvlem3  20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-ulm 20298
  Copyright terms: Public domain W3C validator