Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Unicode version

Theorem ulmclm 19981
 Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z
ulmclm.m
ulmclm.f
ulmclm.a
ulmclm.h
ulmclm.e
ulmclm.u
Assertion
Ref Expression
ulmclm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2
2 ulmclm.a . . . . . . 7
3 fveq2 5632 . . . . . . . . . . 11
4 fveq2 5632 . . . . . . . . . . 11
53, 4oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10
65fveq2d 5636 . . . . . . . . 9
76breq1d 4135 . . . . . . . 8
87rspcv 2965 . . . . . . 7
92, 8syl 15 . . . . . 6
109ralimdv 2707 . . . . 5
1110reximdv 2739 . . . 4
1211ralimdv 2707 . . 3
13 ulmclm.z . . . 4
14 ulmclm.m . . . 4
15 ulmclm.f . . . 4
16 eqidd 2367 . . . 4
17 eqidd 2367 . . . 4
18 ulmcl 19975 . . . . 5
191, 18syl 15 . . . 4
20 ulmscl 19973 . . . . 5
211, 20syl 15 . . . 4
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 19979 . . 3
23 ulmclm.h . . . 4
24 ulmclm.e . . . . 5
2524eqcomd 2371 . . . 4
26 ffvelrn 5770 . . . . 5
2719, 2, 26syl2anc 642 . . . 4
28 ffvelrn 5770 . . . . . . 7
2915, 28sylan 457 . . . . . 6
30 elmapi 6935 . . . . . 6
3129, 30syl 15 . . . . 5
322adantr 451 . . . . 5
33 ffvelrn 5770 . . . . 5
3431, 32, 33syl2anc 642 . . . 4
3513, 14, 23, 25, 27, 34clim2c 12186 . . 3
3612, 22, 353imtr4d 259 . 2
371, 36mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1647   wcel 1715  wral 2628  wrex 2629  cvv 2873   class class class wbr 4125  wf 5354  cfv 5358  (class class class)co 5981   cmap 6915  cc 8882   clt 9014   cmin 9184  cz 10175  cuz 10381  crp 10505  cabs 11926   cli 12165  culm 19970 This theorem is referenced by:  ulmuni  19986  ulmdvlem3  19996  mbfulm  20000  pserulm  20016  lgamgulm2  24268  lgamcvglem  24272 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-neg 9187  df-z 10176  df-uz 10382  df-clim 12169  df-ulm 19971
 Copyright terms: Public domain W3C validator