Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmclm Structured version   Unicode version

Theorem ulmclm 20334
 Description: A uniform limit of functions converges pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmclm.z
ulmclm.m
ulmclm.f
ulmclm.a
ulmclm.h
ulmclm.e
ulmclm.u
Assertion
Ref Expression
ulmclm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ulmclm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmclm.u . 2
2 ulmclm.a . . . . . . 7
3 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11
4 fveq2 5757 . . . . . . . . . . 11
53, 4oveq12d 6128 . . . . . . . . . 10
65fveq2d 5761 . . . . . . . . 9
76breq1d 4247 . . . . . . . 8
87rspcv 3054 . . . . . . 7
92, 8syl 16 . . . . . 6
109ralimdv 2791 . . . . 5
1110reximdv 2823 . . . 4
1211ralimdv 2791 . . 3
13 ulmclm.z . . . 4
14 ulmclm.m . . . 4
15 ulmclm.f . . . 4
16 eqidd 2443 . . . 4
17 eqidd 2443 . . . 4
18 ulmcl 20328 . . . . 5
191, 18syl 16 . . . 4
20 ulmscl 20326 . . . . 5
211, 20syl 16 . . . 4
2213, 14, 15, 16, 17, 19, 21ulm2 20332 . . 3
23 ulmclm.h . . . 4
24 ulmclm.e . . . . 5
2524eqcomd 2447 . . . 4
2619, 2ffvelrnd 5900 . . . 4
2715ffvelrnda 5899 . . . . . 6
28 elmapi 7067 . . . . . 6
2927, 28syl 16 . . . . 5
302adantr 453 . . . . 5
3129, 30ffvelrnd 5900 . . . 4
3213, 14, 23, 25, 26, 31clim2c 12330 . . 3
3312, 22, 323imtr4d 261 . 2
341, 33mpd 15 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711  wrex 2712  cvv 2962   class class class wbr 4237  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110   cmap 7047  cc 9019   clt 9151   cmin 9322  cz 10313  cuz 10519  crp 10643  cabs 12070   cli 12309  culm 20323 This theorem is referenced by:  ulmuni  20339  ulmdvlem3  20349  mbfulm  20353  pserulm  20369  lgamgulm2  24851  lgamcvglem  24855 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-neg 9325  df-z 10314  df-uz 10520  df-clim 12313  df-ulm 20324
 Copyright terms: Public domain W3C validator