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Theorem ulmcn 20320
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcn.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
ulmcn.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmcn  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables  j 
k  w  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 20302 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
4 ulmcn.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 ulmcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 ulmcn.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
8 cncff 18928 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x : S
--> CC )
9 cnex 9076 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
10 cncfrss 18926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
11 ssexg 4352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1210, 9, 11sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  e.  _V )
13 elmapg 7034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
x : S --> CC ) )
149, 12, 13sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  x : S --> CC ) )
158, 14mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x  e.  ( CC  ^m  S ) )
1615ssriv 3354 . . . . . . 7  |-  ( S
-cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S )
17 fss 5602 . . . . . . 7  |-  ( ( F : Z --> ( S
-cn-> CC )  /\  ( S -cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
187, 16, 17sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  w
)  =  ( ( F `  k ) `
 w ) )
21 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  S
)  ->  ( G `  w )  =  ( G `  w ) )
221adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
23 rphalfcl 10641 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
2423ad2antll 711 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
2524rphalfcld 10665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 20307 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )
274r19.2uz 12160 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )
28 simplrl 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  S )
29 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  k
) `  w )  =  ( ( F `
 k ) `  x ) )
30 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( G `  w )  =  ( G `  x ) )
3129, 30oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
3231fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
3332breq1d 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3433rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3528, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) ) )
367adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
3736ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S -cn-> CC ) )
3824adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
39 cncfi 18929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( S
-cn-> CC )  /\  x  e.  S  /\  (
y  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4037, 28, 38, 39syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4140ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
42 r19.26 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  /\  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
4319ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
44 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  k  e.  Z )
4543, 44ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
46 elmapi 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
4828adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  x  e.  S )
4947, 48ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  x )  e.  CC )
503ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  G : S --> CC )
5150, 48ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5249, 51subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5352abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
54 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  k
) : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  w
)  e.  CC )
5547, 54sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  w )  e.  CC )
56 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w
)  e.  CC )
5750, 56sylancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w )  e.  CC )
5855, 57subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  e.  CC )
5958abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )
6038adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR+ )
6160rphalfcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
6261rpred 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR )
63 lt2add 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6560rpred 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR )
6665recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  CC )
67662halvesd 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( y  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  =  ( y  / 
2 ) )
6867breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
6953, 59readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  e.  RR )
7055, 49subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
7170abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
72 lt2add 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y  / 
2 )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) ) )
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) ) ) )
74 rpre 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
7574ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR )
7675ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7776recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  CC )
78772halvesd 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) )  =  y )
7978breq2d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  <->  ( ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) ) )  <  y ) )
8057, 51subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
8180abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
8257, 49subcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
8382abscld 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
8453, 83readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
8569, 71readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  e.  RR )
8657, 51, 49abs3difd 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) ) )
8783recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
8853recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  CC )
8987, 88addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9086, 89breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9159, 71readdcld 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
9257, 49, 55abs3difd 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9357, 55abssubd 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  w
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )
9493oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9592, 94breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9683, 91, 53, 95leadd2dd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
9759recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  CC )
9871recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
9988, 97, 98addassd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
10096, 99breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
10181, 84, 85, 90, 100letrd 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) )
102 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10381, 85, 76, 102syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
104101, 103mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10579, 104sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10673, 105syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
107106exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
10868, 107sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
10964, 108syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
110109expdimp 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
111110an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
112111imp 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
113112imim2d 51 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
114113expimpd 588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
115114ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
11642, 115syl5bir 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  /\  A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
117116expdimp 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
118117an32s 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
119118reximdv 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
121120exp31 589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
12235, 121mpdd 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
123122rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
12427, 123syl5 31 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12526, 124mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
126125ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
127 uzid 10505 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1285, 127syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
129128, 4syl6eleqr 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1307, 129ffvelrnd 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  ( S
-cn-> CC ) )
131 cncfrss 18926 . . . 4  |-  ( ( F `  M )  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
132130, 131syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
133 ssid 3369 . . 3  |-  CC  C_  CC
134 elcncf2 18925 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( S -cn->
CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
135132, 133, 134sylancl 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( S -cn-> CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
1363, 126, 135mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   2c2 10054   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   abscabs 12044   -cn->ccncf 18911   ~~> uculm 20297
This theorem is referenced by:  psercn2  20344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-cncf 18913  df-ulm 20298
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