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Theorem ulmcn 19993
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcn.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
ulmcn.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmcn  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables  j 
k  w  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 19975 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
4 ulmcn.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 ulmcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 ulmcn.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
8 cncff 18611 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x : S
--> CC )
9 cnex 8965 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
10 cncfrss 18609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
11 ssexg 4262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1210, 9, 11sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  e.  _V )
13 elmapg 6928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
x : S --> CC ) )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  x : S --> CC ) )
158, 14mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x  e.  ( CC  ^m  S ) )
1615ssriv 3270 . . . . . . 7  |-  ( S
-cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S )
17 fss 5503 . . . . . . 7  |-  ( ( F : Z --> ( S
-cn-> CC )  /\  ( S -cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
187, 16, 17sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 eqidd 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  w
)  =  ( ( F `  k ) `
 w ) )
21 eqidd 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  S
)  ->  ( G `  w )  =  ( G `  w ) )
221adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
23 rphalfcl 10529 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
2423ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
2524rphalfcld 10553 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 19980 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )
274r19.2uz 12042 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )
28 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  S )
29 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  k
) `  w )  =  ( ( F `
 k ) `  x ) )
30 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( G `  w )  =  ( G `  x ) )
3129, 30oveq12d 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
3231fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
3332breq1d 4135 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3433rspcv 2965 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3528, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) ) )
367adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
37 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : Z --> ( S
-cn-> CC )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  ( S -cn-> CC ) )
3836, 37sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S -cn-> CC ) )
3924adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
40 cncfi 18612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( S
-cn-> CC )  /\  x  e.  S  /\  (
y  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4138, 28, 39, 40syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
43 r19.26 2760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  /\  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
4419ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
45 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  k  e.  Z )
46 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
4744, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
48 elmapi 6935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
5028adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  x  e.  S )
51 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  k
) : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  x
)  e.  CC )
5249, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  x )  e.  CC )
533ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  G : S --> CC )
54 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : S --> CC  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  x
)  e.  CC )
5553, 50, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5652, 55subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5756abscld 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
58 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  k
) : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  w
)  e.  CC )
5949, 58sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  w )  e.  CC )
60 ffvelrn 5770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w
)  e.  CC )
6153, 60sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w )  e.  CC )
6259, 61subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  e.  CC )
6362abscld 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )
6439adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR+ )
6564rphalfcld 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
6665rpred 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR )
67 lt2add 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6857, 63, 66, 66, 67syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6964rpred 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR )
7069recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  CC )
71702halvesd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( y  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  =  ( y  / 
2 ) )
7271breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
7357, 63readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  e.  RR )
7459, 52subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
7574abscld 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
76 lt2add 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y  / 
2 )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) ) )
7773, 75, 69, 69, 76syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) ) ) )
78 rpre 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
7978ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR )
8079ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  RR )
8180recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  CC )
82812halvesd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) )  =  y )
8382breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  <->  ( ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) ) )  <  y ) )
8461, 55subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
8584abscld 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
8661, 52subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
8786abscld 12125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
8857, 87readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
8973, 75readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  e.  RR )
9061, 55, 52abs3difd 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) ) )
9187recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
9257recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  CC )
9391, 92addcomd 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9490, 93breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9563, 75readdcld 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
9661, 52, 59abs3difd 12149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9761, 59abssubd 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  w
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )
9897oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9996, 98breqtrd 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
10087, 95, 57, 99leadd2dd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
10163recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  CC )
10275recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
10392, 101, 102addassd 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
104100, 103breqtrrd 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
10585, 88, 89, 94, 104letrd 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) )
106 lelttr 9059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10785, 89, 80, 106syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
108105, 107mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10983, 108sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
11077, 109syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
111110exp3a 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
11272, 111sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
11368, 112syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
114113expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
115114an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
116115imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
117116imim2d 48 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
118117expimpd 586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
119118ralimdva 2706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
12043, 119syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  /\  A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
121120expdimp 426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
122121an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
123122reximdv 2739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12442, 123mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
125124exp31 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
12635, 125mpdd 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
127126rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
12827, 127syl5 28 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12926, 128mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
130129ralrimivva 2720 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
131 uzid 10393 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1325, 131syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
133132, 4syl6eleqr 2457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
134 ffvelrn 5770 . . . . 5  |-  ( ( F : Z --> ( S
-cn-> CC )  /\  M  e.  Z )  ->  ( F `  M )  e.  ( S -cn-> CC ) )
1357, 133, 134syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  ( S
-cn-> CC ) )
136 cncfrss 18609 . . . 4  |-  ( ( F `  M )  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
137135, 136syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
138 ssid 3283 . . 3  |-  CC  C_  CC
139 elcncf2 18608 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( S -cn->
CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
140137, 138, 139sylancl 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( S -cn-> CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
1413, 130, 140mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   CCcc 8882   RRcr 8883    + caddc 8887    < clt 9014    <_ cle 9015    - cmin 9184    / cdiv 9570   2c2 9942   ZZcz 10175   ZZ>=cuz 10381   RR+crp 10505   abscabs 11926   -cn->ccncf 18594   ~~> uculm 19970
This theorem is referenced by:  psercn2  20017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-cncf 18596  df-ulm 19971
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