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Theorem ulmcn 20272
Description: A uniform limit of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcn.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmcn.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmcn.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
ulmcn.u  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmcn  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )

Proof of Theorem ulmcn
Dummy variables  j 
k  w  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmcn.u . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmcl 20254 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
4 ulmcn.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
5 ulmcn.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ZZ )
7 ulmcn.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
8 cncff 18880 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x : S
--> CC )
9 cnex 9031 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
10 cncfrss 18878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
11 ssexg 4313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
1210, 9, 11sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  e.  _V )
13 elmapg 6994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
x : S --> CC ) )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  ( x  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  x : S --> CC ) )
158, 14mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( S -cn-> CC )  ->  x  e.  ( CC  ^m  S ) )
1615ssriv 3316 . . . . . . 7  |-  ( S
-cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S )
17 fss 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( F : Z --> ( S
-cn-> CC )  /\  ( S -cn-> CC )  C_  ( CC  ^m  S ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
187, 16, 17sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 eqidd 2409 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  w
)  =  ( ( F `  k ) `
 w ) )
21 eqidd 2409 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  S
)  ->  ( G `  w )  =  ( G `  w ) )
221adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
23 rphalfcl 10596 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
2423ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR+ )
2524rphalfcld 10620 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR+ )
264, 6, 19, 20, 21, 22, 25ulmi 20259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )
274r19.2uz 12114 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )
28 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  x  e.  S )
29 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( F `  k
) `  w )  =  ( ( F `
 k ) `  x ) )
30 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( G `  w )  =  ( G `  x ) )
3129, 30oveq12d 6062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  =  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )
3231fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) ) )
3332breq1d 4186 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3433rspcv 3012 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) ) )
3528, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) ) )
367adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  F : Z --> ( S
-cn-> CC ) )
3736ffvelrnda 5833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( F `  k )  e.  ( S -cn-> CC ) )
3824adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
39 cncfi 18881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( S
-cn-> CC )  /\  x  e.  S  /\  (
y  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4037, 28, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
42 r19.26 2802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  <->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  /\  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) ) )
4319ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
44 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  k  e.  Z )
4543, 44ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
46 elmapi 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
4828adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  x  e.  S )
4947, 48ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  x )  e.  CC )
503ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  G : S --> CC )
5150, 48ffvelrnd 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5249, 51subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
5352abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
54 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( F `  k
) : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( ( F `  k ) `  w
)  e.  CC )
5547, 54sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  w )  e.  CC )
56 ffvelrn 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G : S --> CC  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w
)  e.  CC )
5750, 56sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( G `  w )  e.  CC )
5855, 57subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) )  e.  CC )
5958abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )
6038adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR+ )
6160rphalfcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR+ )
6261rpred 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  /  2 )  e.  RR )
63 lt2add 9473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  e.  RR  /\  ( ( y  / 
2 )  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6453, 59, 62, 62, 63syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) ) ) )
6560rpred 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR )
6665recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
y  /  2 )  e.  CC )
67662halvesd 10173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( y  / 
2 )  /  2
)  +  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  =  ( y  / 
2 ) )
6867breq2d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  <->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )
6953, 59readdcld 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  e.  RR )
7055, 49subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
7170abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
72 lt2add 9473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y  / 
2 )  e.  RR  /\  ( y  /  2
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) ) ) )
7369, 71, 65, 65, 72syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) ) ) )
74 rpre 10578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
7574ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
y  e.  RR )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7776recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  y  e.  CC )
78772halvesd 10173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( y  /  2
)  +  ( y  /  2 ) )  =  y )
7978breq2d 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  <->  ( ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  x )  -  ( G `  x ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) ) )  <  y ) )
8057, 51subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) )  e.  CC )
8180abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  e.  RR )
8257, 49subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) )  e.  CC )
8382abscld 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  RR )
8453, 83readdcld 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
8569, 71readdcld 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  e.  RR )
8657, 51, 49abs3difd 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) ) )
8783recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
8853recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  e.  CC )
8987, 88addcomd 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9086, 89breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9159, 71readdcld 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR )
9257, 49, 55abs3difd 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9357, 55abssubd 12214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  w
) ) )  =  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) ) )
9493oveq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9592, 94breqtrd 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
9683, 91, 53, 95leadd2dd 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
9759recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  e.  CC )
9871recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  e.  CC )
9988, 97, 98addassd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) ) )
10096, 99breqtrrd 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( G `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) ) )
10181, 84, 85, 90, 100letrd 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  x ) ) )  <_  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) ) )
102 lelttr 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10381, 85, 76, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <_  ( (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  /\  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  +  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) ) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
104101, 103mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
y  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10579, 104sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) )  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
10673, 105syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  +  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) ) )  <  ( y  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( ( F `
 k ) `  x ) ) )  <  ( y  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
107106exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
10868, 107sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  +  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) ) )  < 
( ( ( y  /  2 )  / 
2 )  +  ( ( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
10964, 108syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
110109expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  w  e.  S )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
111110an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  -> 
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
112111imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( ( F `  k ) `  x
) ) )  < 
( y  /  2
)  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
113112imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  x
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 ) )  /\  w  e.  S
)  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
114113expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  w  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
115114ralimdva 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  /\  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
11642, 115syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  /\  A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
117116expdimp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  ( G `  w )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
118117an32s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( A. w  e.  S  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( ( F `  k ) `
 x ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  ->  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
119118reximdv 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  w )  -  (
( F `  k
) `  x )
) )  <  (
y  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12041, 119mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ )
)  /\  k  e.  Z )  /\  A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  /\  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
121120exp31 588 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  ( ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  x )  -  ( G `  x )
) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
12235, 121mpdd 38 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  k  e.  Z
)  ->  ( A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 w )  -  ( G `  w ) ) )  <  (
( y  /  2
)  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
123122rexlimdva 2794 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. k  e.  Z  A. w  e.  S  ( abs `  (
( ( F `  k ) `  w
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) ) )
12427, 123syl5 30 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. w  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  w )  -  ( G `  w ) ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
2 )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) )
12526, 124mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  x )
) )  <  y
) )
126125ralrimivva 2762 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) )
127 uzid 10460 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1285, 127syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
129128, 4syl6eleqr 2499 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1307, 129ffvelrnd 5834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  ( S
-cn-> CC ) )
131 cncfrss 18878 . . . 4  |-  ( ( F `  M )  e.  ( S -cn-> CC )  ->  S  C_  CC )
132130, 131syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
133 ssid 3331 . . 3  |-  CC  C_  CC
134 elcncf2 18877 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( G  e.  ( S -cn->
CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
135132, 133, 134sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( S -cn-> CC )  <->  ( G : S --> CC  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  S  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 x ) ) )  <  y ) ) ) )
1363, 126, 135mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( S
-cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^m cmap 6981   CCcc 8948   RRcr 8949    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   2c2 10009   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   abscabs 11998   -cn->ccncf 18863   ~~> uculm 20249
This theorem is referenced by:  psercn2  20296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-cncf 18865  df-ulm 20250
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