MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Unicode version

Theorem ulmdv 20311
Description: If  F is a sequence of differentiable functions on  X which converge pointwise to  G, and the derivatives of 
F ( n ) converge uniformly to  H, then  G is differentiable with derivative  H. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmdv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
ulmdv.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmdv.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
ulmdv.g  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
ulmdv.l  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
ulmdv.u  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
Assertion
Ref Expression
ulmdv  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Distinct variable groups:    z, k, F    z, G    z, H    k, M    ph, k, z    S, k, z    k, X, z   
k, Z, z
Allowed substitution hints:    G( k)    H( k)    M( z)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvfg 19785 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : dom  ( S  _D  G ) --> CC )
4 recnprss 19783 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6 ulmdv.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : X --> CC )
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
8 uzid 10492 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
97, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  X ) )
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
k  e.  Z  |->  ( ( F `  k
) `  z )
)  ~~>  ( G `  z ) )
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `  k )
) ) ( ~~> u `  X ) H )
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 20309 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  dom  ( S  _D  ( F `  k )
)  =  X )
16 dvbsss 19781 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( S  _D  ( F `  k ) )  C_  S
1715, 16syl6eqssr 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  X  C_  S )
1817ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  X  C_  S )
19 biidd 229 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  ( X  C_  S  <->  X  C_  S
) )
2019rspcv 3040 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  X  C_  S  ->  X  C_  S ) )
2111, 18, 20sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
225, 6, 21dvbss 19780 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  C_  X
)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 20310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z
( S  _D  G
) ( H `  z ) )
24 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
25 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( H `
 z )  e. 
_V
2624, 25breldm 5066 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2723, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) )
2827ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z  e.  X  ->  z  e.  dom  ( S  _D  G ) ) )
2928ssrdv 3346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  C_  dom  ( S  _D  G ) )
3022, 29eqssd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  G )  =  X )
3130feq2d 5573 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G
) --> CC  <->  ( S  _D  G ) : X --> CC ) )
323, 31mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
) : X --> CC )
33 ffn 5583 . . 3  |-  ( ( S  _D  G ) : X --> CC  ->  ( S  _D  G )  Fn  X )
3432, 33syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  Fn  X )
35 ulmcl 20289 . . . 4  |-  ( ( k  e.  Z  |->  ( S  _D  ( F `
 k ) ) ) ( ~~> u `  X ) H  ->  H : X --> CC )
3614, 35syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  H : X --> CC )
37 ffn 5583 . . 3  |-  ( H : X --> CC  ->  H  Fn  X )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  H  Fn  X )
39 ffun 5585 . . . . 5  |-  ( ( S  _D  G ) : dom  ( S  _D  G ) --> CC 
->  Fun  ( S  _D  G ) )
403, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ( S  _D  G ) )
4140adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  Fun  ( S  _D  G
) )
42 funbrfv 5757 . . 3  |-  ( Fun  ( S  _D  G
)  ->  ( z
( S  _D  G
) ( H `  z )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) ) )
4341, 23, 42sylc 58 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  X )  ->  (
( S  _D  G
) `  z )  =  ( H `  z ) )
4434, 38, 43eqfnfvd 5822 1  |-  ( ph  ->  ( S  _D  G
)  =  H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   CCcc 8980   RRcr 8981   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    ~~> cli 12270    _D cdv 19742   ~~> uculm 20284
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20336
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-ulm 20285
  Copyright terms: Public domain W3C validator