MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmf2 Unicode version

Theorem ulmf2 20257
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmf2  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )

Proof of Theorem ulmf2
StepHypRef Expression
1 ulmpm 20256 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2 ovex 6069 . . . . . 6  |-  ( CC 
^m  S )  e. 
_V
3 zex 10251 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
42, 3elpm2 7008 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( CC 
^m  S )  ^pm  ZZ )  <->  ( F : dom  F --> ( CC  ^m  S )  /\  dom  F 
C_  ZZ ) )
54simplbi 447 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( CC 
^m  S )  ^pm  ZZ )  ->  F : dom  F --> ( CC  ^m  S ) )
61, 5syl 16 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  F : dom  F --> ( CC 
^m  S ) )
76adantl 453 . 2  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : dom  F --> ( CC  ^m  S
) )
8 fndm 5507 . . . 4  |-  ( F  Fn  Z  ->  dom  F  =  Z )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  dom  F  =  Z )
109feq2d 5544 . 2  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( F : dom  F --> ( CC  ^m  S )  <->  F : Z
--> ( CC  ^m  S
) ) )
117, 10mpbid 202 1  |-  ( ( F  Fn  Z  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   class class class wbr 4176   dom cdm 4841    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    ^m cmap 6981    ^pm cpm 6982   CCcc 8948   ZZcz 10242   ~~> uculm 20249
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  20273  ulmdvlem2  20274  ulmdvlem3  20275  mtestbdd  20278  mbfulm  20279  iblulm  20280  itgulm  20281  itgulm2  20282  lgamgulm2  24777  lgamcvglem  24781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-map 6983  df-pm 6984  df-neg 9254  df-z 10243  df-uz 10449  df-ulm 20250
  Copyright terms: Public domain W3C validator