MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmpm Unicode version

Theorem ulmpm 19762
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmpm  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )

Proof of Theorem ulmpm
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmf 19761 . 2  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  E. n  e.  ZZ  F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) )
2 uzssz 10247 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ
3 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( CC 
^m  S )  e. 
_V
4 zex 10033 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
5 elpm2r 6788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( CC  ^m  S )  e.  _V  /\  ZZ  e.  _V )  /\  ( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n
)  C_  ZZ )
)  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
63, 4, 5mpanl12 663 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ )  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
72, 6mpan2 652 . . 3  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
87rexlimivw 2663 . 2  |-  ( E. n  e.  ZZ  F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
91, 8syl 15 1  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  F  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772    ^pm cpm 6773   CCcc 8735   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ~~> uculm 19755
This theorem is referenced by:  ulmf2  19763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-pm 6775  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-ulm 19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator