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Theorem ulmres 20164
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmres.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
ulmres.m  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
ulmres.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables  j 
k  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 20155 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
2 ulmcl 20157 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2jca 519 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
5 ulmscl 20155 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
6 ulmcl 20157 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
75, 6jca 519 . . 3  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleq 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10418 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
1510rexuz3 12072 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
17 eluzelz 10421 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1812, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ZZ )
19 ulmres.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2019rexuz3 12072 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
2118, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2216, 21bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2322ralbidv 2662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
24 ulmres.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2524adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
26 eqidd 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
27 eqidd 2381 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
28 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  G : S --> CC )
29 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  S  e.  _V )
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 20161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
31 uzss 10431 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3212, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 19, 103sstr4g 3325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  W  C_  Z )
34 fssres 5543 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  W  C_  Z )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
3525, 33, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
36 fvres 5678 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
3736ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F  |`  W ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3837fveq1d 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( F  |`  W ) `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
3919, 18, 35, 38, 27, 28, 29ulm2 20161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
4023, 30, 393bitr4d 277 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
4140ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
_V  /\  G : S
--> CC )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) ) )
424, 8, 41pm5.21ndd 344 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    |` cres 4813   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    ^m cmap 6947   CCcc 8914    < clt 9046    - cmin 9216   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   RR+crp 10537   abscabs 11959   ~~> uculm 20152
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414  df-ulm 20153
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