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Theorem ulmres 19783
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmres.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
ulmres.m  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
ulmres.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables  j 
k  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 19774 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
2 ulmcl 19776 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
5 ulmscl 19774 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
6 ulmcl 19776 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
75, 6jca 518 . . 3  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
87a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleq 2386 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10251 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
1510rexuz3 11848 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
17 eluzelz 10254 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1812, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ZZ )
19 ulmres.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2019rexuz3 11848 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
2118, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2216, 21bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2322ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
24 ulmres.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
26 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
27 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
28 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  G : S --> CC )
29 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  S  e.  _V )
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 19780 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
31 uzss 10264 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3212, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 19, 103sstr4g 3232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  W  C_  Z )
34 fssres 5424 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  W  C_  Z )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
3525, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
36 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
3736ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F  |`  W ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3837fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( F  |`  W ) `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
3919, 18, 35, 38, 27, 28, 29ulm2 19780 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
4023, 30, 393bitr4d 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
4140ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
_V  /\  G : S
--> CC )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) ) )
424, 8, 41pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   CCcc 8751    < clt 8883    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   abscabs 11735   ~~> uculm 19771
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  19820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-ulm 19772
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