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Theorem ulmres 19767
Description: A sequence of functions converges iff the tail of the sequence converges (for any finite cutoff). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmres.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmres.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
ulmres.m  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
ulmres.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
Assertion
Ref Expression
ulmres  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )

Proof of Theorem ulmres
Dummy variables  j 
k  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 19758 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
2 ulmcl 19760 . . . 4  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
31, 2jca 518 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
43a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
5 ulmscl 19758 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
6 ulmcl 19760 . . . 4  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
75, 6jca 518 . . 3  |-  ( ( F  |`  W )
( ~~> u `  S
) G  ->  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )
87a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  -> 
( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) ) )
9 ulmres.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
10 ulmres.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
119, 10syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
13 eluzel2 10235 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
1412, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  M  e.  ZZ )
1510rexuz3 11832 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
17 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1812, 17syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  N  e.  ZZ )
19 ulmres.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  N )
2019rexuz3 11832 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
2118, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2216, 21bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
2322ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
24 ulmres.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
2524adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
26 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
27 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
28 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  G : S --> CC )
29 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  S  e.  _V )
3010, 14, 25, 26, 27, 28, 29ulm2 19764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
31 uzss 10248 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
3212, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ZZ>= `  N )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
3332, 19, 103sstr4g 3219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  ->  W  C_  Z )
34 fssres 5408 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  W  C_  Z )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
3525, 33, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F  |`  W ) : W --> ( CC 
^m  S ) )
36 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( F  |`  W ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
3736ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F  |`  W ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
3837fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S --> CC ) )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( F  |`  W ) `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
3919, 18, 35, 38, 27, 28, 29ulm2 19764 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r ) )
4023, 30, 393bitr4d 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( S  e.  _V  /\  G : S
--> CC ) )  -> 
( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
4140ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  e. 
_V  /\  G : S
--> CC )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) ) )
424, 8, 41pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  ( F  |`  W ) ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735    < clt 8867    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   abscabs 11719   ~~> uculm 19755
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  19804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-ulm 19756
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