Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmshft Unicode version

Theorem ulmshft 19769
 Description: A sequence of functions converges iff the shifted sequence converges. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z
ulmshft.w
ulmshft.m
ulmshft.k
ulmshft.f
ulmshft.h
Assertion
Ref Expression
ulmshft
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem ulmshft
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . 3
2 ulmshft.w . . 3
3 ulmshft.m . . 3
4 ulmshft.k . . 3
5 ulmshft.f . . 3
6 ulmshft.h . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6ulmshftlem 19768 . 2
8 eqid 2283 . . 3
93, 4zaddcld 10121 . . 3
104znegcld 10119 . . 3
115adantr 451 . . . . . 6
123adantr 451 . . . . . . . 8
134adantr 451 . . . . . . . 8
14 simpr 447 . . . . . . . . 9
1514, 2syl6eleq 2373 . . . . . . . 8
16 eluzsub 10257 . . . . . . . 8
1712, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . 7
1817, 1syl6eleqr 2374 . . . . . 6
19 ffvelrn 5663 . . . . . 6
2011, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5
21 eqid 2283 . . . . 5
2220, 21fmptd 5684 . . . 4
236feq1d 5379 . . . 4
2422, 23mpbird 223 . . 3
25 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
2625, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10
27 eluzelz 10238 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9
2928zcnd 10118 . . . . . . . 8
304zcnd 10118 . . . . . . . . 9
3130adantr 451 . . . . . . . 8
3229, 31subnegd 9164 . . . . . . 7
3332fveq2d 5529 . . . . . 6
346adantr 451 . . . . . . 7
3534fveq1d 5527 . . . . . 6
364adantr 451 . . . . . . . . . 10
37 eluzadd 10256 . . . . . . . . . 10
3826, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3938, 2syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8
40 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10
4140fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
42 fvex 5539 . . . . . . . . 9
4341, 21, 42fvmpt 5602 . . . . . . . 8
4439, 43syl 15 . . . . . . 7
4529, 31pncand 9158 . . . . . . . 8
4645fveq2d 5529 . . . . . . 7
4744, 46eqtrd 2315 . . . . . 6
4833, 35, 473eqtrd 2319 . . . . 5
4948mpteq2dva 4106 . . . 4
503zcnd 10118 . . . . . . . . 9
5110zcnd 10118 . . . . . . . . 9
5250, 30, 51addassd 8857 . . . . . . . 8
5330negidd 9147 . . . . . . . . 9
5453oveq2d 5874 . . . . . . . 8
5550addid1d 9012 . . . . . . . 8
5652, 54, 553eqtrd 2319 . . . . . . 7
5756fveq2d 5529 . . . . . 6
5857, 1syl6eqr 2333 . . . . 5
59 mpteq1 4100 . . . . 5
6058, 59syl 15 . . . 4
615feqmptd 5575 . . . 4
6249, 60, 613eqtr4rd 2326 . . 3
632, 8, 9, 10, 24, 62ulmshftlem 19768 . 2
647, 63impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   class class class wbr 4023   cmpt 4077  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772  cc 8735  cc0 8737   caddc 8740   cmin 9037  cneg 9038  cz 10024  cuz 10230  culm 19755 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  19804 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ulm 19756
 Copyright terms: Public domain W3C validator