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Theorem ulmshftlem 20295
Description: Lemma for ulmshft 20296. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmshft.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
ulmshft.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmshft.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
ulmshft.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulmshft.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Distinct variable groups:    ph, n    n, W    n, F    n, K    S, n
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    M( n)    Z( n)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables  i 
j  k  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
54ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
6 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  m ) `  z
)  =  ( ( F `  m ) `
 z ) )
7 eqidd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
8 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
9 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 20292 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
11 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  Z )
1211, 1syl6eleq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
1413ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  K  e.  ZZ )
15 eluzadd 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
i  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
1612, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
1816, 17syl6eleqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  W
)
19 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ZZ )
2120adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
2213adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  K  e.  ZZ )
2322ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
24 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
25 eluzsub 10505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
27 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
2827fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
2928oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )
3029fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )
3130breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3231ralbidv 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3332rspcv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  -  K )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
3426, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3534ralrimdva 2788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
3736raleqdv 2902 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3837rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  K
)  e.  W  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
3918, 35, 38ee12an 1372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
4039rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
4110, 40mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
4241ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
432, 13zaddcld 10369 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4443adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
454adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
462adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
4713adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
48 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  W )
4948, 17syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
50 eluzsub 10505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( n  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5251, 1syl6eleqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  Z )
5345, 52ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  e.  ( CC  ^m  S
) )
54 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) )
5553, 54fmptd 5885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) )
56 ulmshft.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
5756feq1d 5572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H : W --> ( CC  ^m  S )  <-> 
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) ) )
5855, 57mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : W --> ( CC 
^m  S ) )
5958adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H : W --> ( CC  ^m  S ) )
6056ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) ) )
6160fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) `
 k ) )
62 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  K )  =  ( k  -  K ) )
6362fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  =  ( F `  (
k  -  K ) ) )
64 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( k  -  K ) )  e. 
_V
6563, 54, 64fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6665ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6761, 66eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
6867fveq1d 5722 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( H `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
69 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
70 ulmcl 20287 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
7170adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  G : S --> CC )
72 ulmscl 20285 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
7372adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  S  e.  _V )
7417, 44, 59, 68, 69, 71, 73ulm2 20291 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( H ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
7542, 74mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H
( ~~> u `  S
) G )
7675ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   CCcc 8978    + caddc 8983    < clt 9110    - cmin 9281   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   abscabs 12029   ~~> uculm 20282
This theorem is referenced by:  ulmshft  20296
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-ulm 20283
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