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Theorem ulmshftlem 19768
Description: Lemma for ulmshft 19769. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmshft.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmshft.w  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
ulmshft.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
ulmshft.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
ulmshft.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
ulmshft.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ulmshftlem  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Distinct variable groups:    ph, n    n, W    n, F    n, K    S, n
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    M( n)    Z( n)

Proof of Theorem ulmshftlem
Dummy variables  i 
j  k  m  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmshft.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 ulmshft.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
32ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  M  e.  ZZ )
4 ulmshft.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
54ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
6 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( m  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( F `  m ) `  z
)  =  ( ( F `  m ) `
 z ) )
7 eqidd 2284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  z  e.  S
)  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
8 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  F ( ~~> u `  S ) G )
9 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
101, 3, 5, 6, 7, 8, 9ulmi 19765 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>=
`  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
11 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  Z )
1211, 1syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
13 ulmshft.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
1413ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  K  e.  ZZ )
15 eluzadd 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
i  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
1612, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  (
ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
17 ulmshft.w . . . . . . . 8  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
1816, 17syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( i  +  K )  e.  W
)
19 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
2012, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  i  e.  ZZ )
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  i  e.  ZZ )
2213adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  K  e.  ZZ )
2322ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
24 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
25 eluzsub 10257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
2621, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( k  -  K )  e.  (
ZZ>= `  i ) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
2827fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
2928oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) )  =  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( abs `  ( ( ( F `  m ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) ) )
3130breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  (
( abs `  (
( ( F `  m ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3231ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( k  -  K )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3332rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  -  K )  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
3426, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3534ralrimdva 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  ( i  +  K ) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
36 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( ZZ>=
`  j )  =  ( ZZ>= `  ( i  +  K ) ) )
3736raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( i  +  K )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
3837rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  +  K
)  e.  W  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  ( i  +  K
) ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
3918, 35, 38ee12an 1353 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  /\  x  e.  RR+ )  /\  i  e.  Z
)  ->  ( A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 m ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
4039rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. i  e.  Z  A. m  e.  ( ZZ>= `  i ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  m
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
4110, 40mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  ( k  -  K ) ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)
4241ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x )
432, 13zaddcld 10121 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4443adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
454adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
462adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
4713adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  W )
4948, 17syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
50 eluzsub 10257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( n  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5146, 47, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5251, 1syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  (
n  -  K )  e.  Z )
53 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  ( n  -  K
)  e.  Z )  ->  ( F `  ( n  -  K
) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
5445, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  W )  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  e.  ( CC  ^m  S
) )
55 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) )  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) )
5654, 55fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) )
57 ulmshft.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) )
5857feq1d 5379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( H : W --> ( CC  ^m  S )  <-> 
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) : W --> ( CC  ^m  S ) ) )
5956, 58mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : W --> ( CC 
^m  S ) )
6059adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H : W --> ( CC  ^m  S ) )
6157ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  H  =  ( n  e.  W  |->  ( F `  ( n  -  K
) ) ) )
6261fveq1d 5527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( ( n  e.  W  |->  ( F `
 ( n  -  K ) ) ) `
 k ) )
63 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  -  K )  =  ( k  -  K ) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  ( n  -  K ) )  =  ( F `  (
k  -  K ) ) )
65 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( k  -  K ) )  e. 
_V
6664, 55, 65fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  W  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6766ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( n  e.  W  |->  ( F `  (
n  -  K ) ) ) `  k
)  =  ( F `
 ( k  -  K ) ) )
6862, 67eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( k  -  K
) ) )
6968fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  ( k  e.  W  /\  z  e.  S
) )  ->  (
( H `  k
) `  z )  =  ( ( F `
 ( k  -  K ) ) `  z ) )
70 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z
)  =  ( G `
 z ) )
71 ulmcl 19760 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  G : S --> CC )
7271adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  G : S --> CC )
73 ulmscl 19758 . . . . 5  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  S  e.  _V )
7473adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  S  e.  _V )
7517, 44, 60, 69, 70, 72, 74ulm2 19764 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  ( H ( ~~> u `  S ) G  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  W  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  (
k  -  K ) ) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x ) )
7642, 75mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  F ( ~~> u `  S ) G )  ->  H
( ~~> u `  S
) G )
7776ex 423 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  ->  H ( ~~> u `  S ) G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735    + caddc 8740    < clt 8867    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   abscabs 11719   ~~> uculm 19755
This theorem is referenced by:  ulmshft  19769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ulm 19756
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