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Theorem ulmss 20315
Description: A uniform limit of functions is still a uniform limit if restricted to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmss.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
ulmss.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
ulmss.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
ulmss.u  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
Assertion
Ref Expression
ulmss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Distinct variable groups:    x, T    ph, x    x, S    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)    M( x)    W( x)

Proof of Theorem ulmss
Dummy variables  j 
k  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmss.u . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G )
2 ulmss.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
32uztrn2 10505 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
4 ulmss.t . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
54adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  T  C_  S )
6 ssralv 3409 . . . . . . . . . 10  |-  ( T 
C_  S  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
8 fvres 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  T  ->  (
( A  |`  T ) `
 z )  =  ( A `  z
) )
98ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( A  |`  T ) `  z
)  =  ( A `
 z ) )
10 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  Z )
11 ulmss.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  W )
1211adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  ->  A  e.  W )
13 resexg 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  W  ->  ( A  |`  T )  e. 
_V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( A  |`  T )  e.  _V )
15 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )  =  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) )
1615fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  ( A  |`  T )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1710, 14, 16syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( A  |`  T )
)
1817fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( A  |`  T ) `  z ) )
19 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Z  |->  A )  =  ( x  e.  Z  |->  A )
2019fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  Z  /\  A  e.  W )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2110, 12, 20syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x )  =  A )
2221fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 x ) `  z )  =  ( A `  z ) )
239, 18, 223eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
2423ralrimivva 2800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
)
25 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )
26 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x T
27 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k )
28 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
z
2927, 28nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)
30 nffvmpt1 5738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k )
3130, 28nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )
3229, 31nfeq 2581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
3326, 32nfral 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
34 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) )
3534fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
36 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  (
( x  e.  Z  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) )
3736fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
3835, 37eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
3938ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
) )
4025, 33, 39cbvral 2930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  x ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  x
) `  z )  <->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4124, 40sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  A. z  e.  T  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )
)
4241r19.21bi 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A. z  e.  T  ( (
( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z ) )
43 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
)  =  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )
4443fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) ) )
4544breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
4645ralimi 2783 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  ->  A. z  e.  T  ( ( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
47 ralbi 2844 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  T  (
( abs `  (
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
)  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
4842, 46, 473syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  <->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
497, 48sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
503, 49sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5150anassrs 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T )
) `  k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  r
) )
5251ralimdva 2786 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
5352reximdva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
5453ralimdv 2787 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
55 ulmf 20300 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
561, 55syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : (
ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S ) )
57 fdm 5597 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  dom  ( x  e.  Z  |->  A )  =  (
ZZ>= `  m ) )
5819dmmptss 5368 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  Z  |->  A )  C_  Z
5957, 58syl6eqssr 3401 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  -> 
( ZZ>= `  m )  C_  Z )
60 uzid 10502 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
6160adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  m )
)
62 ssel 3344 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  e.  Z ) )
63 eluzel2 10495 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
6463, 2eleq2s 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
6562, 64syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  ( m  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  M  e.  ZZ ) )
6661, 65syl5com 29 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( (
ZZ>= `  m )  C_  Z  ->  M  e.  ZZ ) )
6759, 66syl5 31 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  M  e.  ZZ )
)
6867rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC  ^m  S )  ->  M  e.  ZZ ) )
6956, 68mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
7011ralrimiva 2791 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  W )
7119fnmpt 5573 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  W  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z )
7270, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z
)
73 frn 5599 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7473rexlimivw 2828 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
x  e.  Z  |->  A ) : ( ZZ>= `  m ) --> ( CC 
^m  S )  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
7556, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) )
76 df-f 5460 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  ( (
x  e.  Z  |->  A )  Fn  Z  /\  ran  ( x  e.  Z  |->  A )  C_  ( CC  ^m  S ) ) )
7772, 75, 76sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
78 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `
 k ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `  z
) )
79 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
80 ulmcl 20299 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  G : S --> CC )
811, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : S --> CC )
82 ulmscl 20297 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  S  e.  _V )
831, 82syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
842, 69, 77, 78, 79, 81, 83ulm2 20303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  A ) `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  r
) )
8519fmpt 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S
)  <->  ( x  e.  Z  |->  A ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8677, 85sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  A  e.  ( CC  ^m  S ) )
8786r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A  e.  ( CC  ^m  S
) )
88 elmapi 7040 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  ^m  S )  ->  A : S --> CC )
8987, 88syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  A : S --> CC )
904adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  C_  S )
91 fssres 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( A : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( A  |`  T ) : T --> CC )
9289, 90, 91syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T ) : T --> CC )
93 cnex 9073 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
9483, 4ssexd 4352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
9594adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  T  e.  _V )
96 elmapg 7033 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <-> 
( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9793, 95, 96sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  (
( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T )  <->  ( A  |`  T ) : T --> CC ) )
9892, 97mpbird 225 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  ( A  |`  T )  e.  ( CC  ^m  T
) )
9998, 15fmptd 5895 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) : Z --> ( CC 
^m  T ) )
100 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  =  ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `
 z ) )
101 fvres 5747 . . . . 5  |-  ( z  e.  T  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
102101adantl 454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  T )  ->  (
( G  |`  T ) `
 z )  =  ( G `  z
) )
103 fssres 5612 . . . . 5  |-  ( ( G : S --> CC  /\  T  C_  S )  -> 
( G  |`  T ) : T --> CC )
10481, 4, 103syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  |`  T ) : T --> CC )
1052, 69, 99, 100, 102, 104, 94ulm2 20303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  T  ( abs `  ( ( ( ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) `  k ) `  z
)  -  ( G `
 z ) ) )  <  r ) )
10654, 84, 1053imtr4d 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  Z  |->  A ) ( ~~> u `  S ) G  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) ) )
1071, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Z  |->  ( A  |`  T ) ) ( ~~> u `  T ) ( G  |`  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ^m cmap 7020   CCcc 8990    < clt 9122    - cmin 9293   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   abscabs 12041   ~~> uculm 20294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-neg 9296  df-z 10285  df-uz 10491  df-ulm 20295
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