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Theorem ulmval 20296
Description: Express the predicate: The sequence of functions  F converges uniformly to  G on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmval  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, n, x, z, F    j, G, k, n, x, z    S, j, k, n, x, z    n, V
Allowed substitution hints:    V( x, z, j, k)

Proof of Theorem ulmval
Dummy variables  f 
y  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmrel 20294 . . . 4  |-  Rel  ( ~~> u `  S )
2 brrelex12 4915 . . . 4  |-  ( ( Rel  ( ~~> u `  S )  /\  F
( ~~> u `  S
) G )  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)
31, 2mpan 652 . . 3  |-  ( F ( ~~> u `  S
) G  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) )
43a1i 11 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  -> 
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
) )
5 3simpa 954 . . . 4  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC ) )
6 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  n )  e.  _V
7 fex 5969 . . . . . . 7  |-  ( ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
86, 7mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  ->  F  e.  _V ) )
10 fex 5969 . . . . . 6  |-  ( ( G : S --> CC  /\  S  e.  V )  ->  G  e.  _V )
1110expcom 425 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( G : S --> CC  ->  G  e.  _V ) )
129, 11anim12d 547 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC )  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V ) ) )
135, 12syl5 30 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
1413rexlimdvw 2833 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
)  ->  ( F  e.  _V  /\  G  e. 
_V ) ) )
15 elex 2964 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
16 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S ) )
17 uzssz 10505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ
18 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( CC 
^m  S )  e. 
_V
19 zex 10291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  e.  _V
20 elpm2r 7034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( CC  ^m  S )  e.  _V  /\  ZZ  e.  _V )  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n
)  C_  ZZ )
)  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2118, 19, 20mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  ( ZZ>= `  n )  C_  ZZ )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
2216, 17, 21sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ ) )
23 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y : S --> CC )
24 cnex 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  e.  _V
25 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  S  e.  V )
26 elmapg 7031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  V )  ->  ( y  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
y : S --> CC ) )
2724, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
y  e.  ( CC 
^m  S )  <->  y : S
--> CC ) )
2823, 27mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  y  e.  ( CC  ^m  S
) )
2922, 28jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )  ->  (
f  e.  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
3029ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  V  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3130rexlimdvw 2833 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  V  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  ->  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) ) )
3231ssopab2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  {
<. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) } )
33 df-xp 4884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  =  { <. f ,  y >.  |  ( f  e.  ( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  /\  y  e.  ( CC  ^m  S ) ) }
3432, 33syl6sseqr 3395 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  C_  ( ( ( CC 
^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC 
^m  S ) ) )
35 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  ^m  S ) 
^pm  ZZ )  e.  _V
3635, 18xpex 4990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  ^m  S
)  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S
) )  e.  _V
3736ssex 4347 . . . . . . 7  |-  ( {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  C_  (
( ( CC  ^m  S )  ^pm  ZZ )  X.  ( CC  ^m  S ) )  ->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )
3834, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  e.  _V )
39 oveq2 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^m  s )  =  ( CC  ^m  S
) )
40 feq3 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  ^m  s )  =  ( CC  ^m  S )  ->  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  <->  f :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  <->  f :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S ) ) )
42 feq2 5577 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
y : s --> CC  <->  y : S --> CC ) )
43 raleq 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  s 
( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) )
4443rexralbidv 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>=
`  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4544ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k
) `  z )  -  ( y `  z ) ) )  <  x ) )
4641, 42, 453anbi123d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  ( f : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) ) )
4746rexbidv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x )  <->  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) ) )
4847opabbidv 4271 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  s )  /\  y : s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
49 df-ulm 20293 . . . . . . 7  |-  ~~> u  =  ( s  e.  _V  |->  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  s
)  /\  y :
s --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  s  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } )
5048, 49fvmptg 5804 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  {
<. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }  e.  _V )  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5115, 38, 50syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( ~~> u `  S )  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } )
5251breqd 4223 . . . 4  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) } G ) )
53 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  f  =  F )
5453feq1d 5580 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f : (
ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  <-> 
F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S ) ) )
55 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  y  =  G )
5655feq1d 5580 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y : S --> CC 
<->  G : S --> CC ) )
5753fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
5857fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f `  k ) `  z
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5955fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( y `  z
)  =  ( G `
 z ) )
6058, 59oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
)  =  ( ( ( F `  k
) `  z )  -  ( G `  z ) ) )
6160fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) ) )
6261breq1d 4222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6362ralbidv 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  (
( ( f `  k ) `  z
)  -  ( y `
 z ) ) )  <  x  <->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6463rexralbidv 2749 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x  <->  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) )
6564ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) )
6654, 56, 653anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
6766rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  G )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
)  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `  k ) `
 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
68 eqid 2436 . . . . 5  |-  { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) }  =  { <. f ,  y
>.  |  E. n  e.  ZZ  ( f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `
 k ) `  z )  -  (
y `  z )
) )  <  x
) }
6967, 68brabga 4469 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F { <. f ,  y >.  |  E. n  e.  ZZ  (
f : ( ZZ>= `  n ) --> ( CC 
^m  S )  /\  y : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( f `  k ) `
 z )  -  ( y `  z
) ) )  < 
x ) } G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F : ( ZZ>= `  n
) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ( ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>=
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 z )  -  ( G `  z ) ) )  <  x
) ) )
7052, 69sylan9bb 681 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )
)  ->  ( F
( ~~> u `  S
) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
7170ex 424 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) ) )
724, 14, 71pm5.21ndd 344 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( F ( ~~> u `  S ) G  <->  E. n  e.  ZZ  ( F :
( ZZ>= `  n ) --> ( CC  ^m  S )  /\  G : S --> CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  (
ZZ>= `  n ) A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( ( F `
 k ) `  z )  -  ( G `  z )
) )  <  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   {copab 4265    X. cxp 4876   Rel wrel 4883   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018    ^pm cpm 7019   CCcc 8988    < clt 9120    - cmin 9291   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   abscabs 12039   ~~> uculm 20292
This theorem is referenced by:  ulmcl  20297  ulmf  20298  ulm2  20301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-pm 7021  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-ulm 20293
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