Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgra1 Unicode version

Theorem umgra1 23878
Description: The graph with one edge. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )

Proof of Theorem umgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  A  e.  X )
2 prex 4217 . . . . . 6  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5514 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { { B ,  C } } )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } } )
7 prssi 3771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  C_  V )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  C_  V )
92elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  ~P V  <->  { B ,  C }  C_  V
)
108, 9sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
11 prnzg 3746 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
1211ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
13 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  { B ,  C }  =/=  (/) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } ) )
15 hashprlei 11379 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
)
1615simpri 448 . . . . . . 7  |-  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 )
18 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1918breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  <_  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  <_  2 ) )
2019elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 ) )
2114, 17, 20sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
2221snssd 3760 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
23 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
246, 22, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
25 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2726feq2d 5380 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  <->  {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
2824, 27mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
29 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
30 snex 4216 . . 3  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
31 isumgra 23867 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3229, 30, 31sylancl 643 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3328, 32mpbird 223 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Fincfn 6863    <_ cle 8868   2c2 9795   #chash 11337   UMGrph cumg 23860
This theorem is referenced by:  eupap1  23900  eupath2lem3  23903  vdegp1ai  23908  vdegp1bi  23909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-umgra 23863
  Copyright terms: Public domain W3C validator