Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgra1 Unicode version

Theorem umgra1 23893
Description: The graph with one edge. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )

Proof of Theorem umgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  A  e.  X )
2 prex 4233 . . . . . 6  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5530 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of 5488 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { { B ,  C } } )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } } )
7 prssi 3787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  C_  V )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  C_  V )
92elpw 3644 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  ~P V  <->  { B ,  C }  C_  V
)
108, 9sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
11 prnzg 3759 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
1211ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
13 eldifsn 3762 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  { B ,  C }  =/=  (/) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } ) )
15 hashprlei 11395 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
)
1615simpri 448 . . . . . . 7  |-  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
1716a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 )
18 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1918breq1d 4049 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  <_  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  <_  2 ) )
2019elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 ) )
2114, 17, 20sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
2221snssd 3776 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
23 fss 5413 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
246, 22, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
25 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2726feq2d 5396 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  <->  {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
2824, 27mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
29 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
30 snex 4232 . . 3  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
31 isumgra 23882 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3229, 30, 31sylancl 643 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3328, 32mpbird 223 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   <.cop 3656   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Fincfn 6879    <_ cle 8884   2c2 9811   #chash 11353   UMGrph cumg 23875
This theorem is referenced by:  eupap1  23915  eupath2lem3  23918  vdegp1ai  23923  vdegp1bi  23924
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-umgra 23878
  Copyright terms: Public domain W3C validator