MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgra1 Structured version   Unicode version

Theorem umgra1 21353
Description: The graph with one edge. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgra1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )

Proof of Theorem umgra1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  A  e.  X )
2 prex 4398 . . . . . 6  |-  { B ,  C }  e.  _V
3 f1osng 5708 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  { B ,  C }  e.  _V )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } } )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
-1-1-onto-> { { B ,  C } } )
5 f1of 5666 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } -1-1-onto-> { { B ,  C } }  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { { B ,  C } } )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } } )
7 prssi 3946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  V )  ->  { B ,  C }  C_  V )
87adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  C_  V )
92elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  ~P V  <->  { B ,  C }  C_  V
)
108, 9sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ~P V )
11 prnzg 3916 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  V  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
1211ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  =/=  (/) )
13 eldifsn 3919 . . . . . . 7  |-  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( { B ,  C }  e.  ~P V  /\  { B ,  C }  =/=  (/) ) )
1410, 12, 13sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } ) )
15 hashprlei 11678 . . . . . . . 8  |-  ( { B ,  C }  e.  Fin  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
)
1615simpri 449 . . . . . . 7  |-  ( # `  { B ,  C } )  <_  2
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 )
18 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( # `  x )  =  (
# `  { B ,  C } ) )
1918breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { B ,  C }  ->  ( (
# `  x )  <_  2  <->  ( # `  { B ,  C }
)  <_  2 ) )
2019elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 }  <->  ( { B ,  C }  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  ( # `  { B ,  C } )  <_ 
2 ) )
2114, 17, 20sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { B ,  C }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
2221snssd 3935 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
23 fss 5591 . . . 4  |-  ( ( { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { { B ,  C } }  /\  { { B ,  C } }  C_  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
246, 22, 23syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : { A }
--> { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
25 fdm 5587 . . . . 5  |-  ( {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  dom  { <. A ,  { B ,  C } >. }  =  { A } )
2726feq2d 5573 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }  <->  {
<. A ,  { B ,  C } >. } : { A } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
2824, 27mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
29 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V  e.  W )
30 snex 4397 . . 3  |-  { <. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V
31 isumgra 21342 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  {
<. A ,  { B ,  C } >. }  e.  _V )  ->  ( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3229, 30, 31sylancl 644 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  -> 
( V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. }  <->  { <. A ,  { B ,  C } >. } : dom  { <. A ,  { B ,  C } >. } --> { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
) )
3328, 32mpbird 224 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  A  e.  X
)  /\  ( B  e.  V  /\  C  e.  V ) )  ->  V UMGrph  { <. A ,  { B ,  C } >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   <.cop 3809   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   Fincfn 7101    <_ cle 9113   2c2 10041   #chash 11610   UMGrph cumg 21339
This theorem is referenced by:  eupap1  21690  eupath2lem3  21693  vdegp1ai  21698  vdegp1bi  21699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-hash 11611  df-umgra 21340
  Copyright terms: Public domain W3C validator