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Theorem umgraex 23875
Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, E, y    x, F, y    x, V, y

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 23872 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  =/=  (/) )
2 n0 3464 . . . 4  |-  ( ( E `  F )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( E `  F
) )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  x  e.  ( E `  F ) )
4 umgrass 23871 . . . . . . 7  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  C_  V
)
54sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  V )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  x  e.  V )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( ( E `  F )  \  {
x } )  =  (/) )
8 ssdif0 3513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  F ) 
C_  { x }  <->  ( ( E `  F
)  \  { x } )  =  (/) )
97, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  C_  { x } )
10 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  ( E `  F ) )
1110snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
1211adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
139, 12eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  =  { x } )
14 preq2 3707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x ,  x } )
15 dfsn2 3654 . . . . . . . . . . 11  |-  { x }  =  { x ,  x }
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x } )
1716eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( E `  F
)  =  { x ,  y }  <->  ( E `  F )  =  {
x } ) )
1817rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( E `  F )  =  { x }
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
196, 13, 18syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
20 n0 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  F
)  \  { x } )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )
214adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  C_  V
)
22 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  C_  ( E `  F )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) )
2422, 23sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( E `  F ) )
2521, 24sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  V
)
26 umgrafi 23874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
28 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  e.  ( E `  F ) )
29 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( E `
 F )  /\  y  e.  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F ) )
3028, 24, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F )
)
31 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
32 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  F )  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  ( E `  F )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) ) )
3331, 30, 32mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) )
34 umgrale 23873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
36 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( E `
 F )  \  { x } )  ->  y  =/=  x
)
3736ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  =/=  x
)
3837necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  =/=  y
)
39 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
40 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
41 hashprg 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
4239, 40, 41mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  y  <->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4338, 42sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4435, 43breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } ) )
45 prfi 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x ,  y }  e.  Fin
46 hashdom 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4727, 45, 46sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( ( # `  ( E `  F
) )  <_  ( # `
 { x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4844, 47mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )
49 sbth 6981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { x ,  y }  ~<_  ( E `  F )  /\  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F ) )
5033, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F )
)
51 fisseneq 7074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y } 
C_  ( E `  F )  /\  {
x ,  y } 
~~  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `
 F ) )
5227, 30, 50, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `  F ) )
5352eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5425, 53jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 F )  =  { x ,  y } ) )
5554expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( y  e.  ( ( E `  F )  \  {
x } )  -> 
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5655eximdv 1608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( E. y  y  e.  (
( E `  F
)  \  { x } )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5756imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
58 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
5957, 58sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
6020, 59sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
6119, 60pm2.61dane 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
625, 61jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) )
6362ex 423 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( x  e.  ( E `  F
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) ) )
6463eximdv 1608 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( E `  F )  ->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) ) )
653, 64mpd 14 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
66 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
6765, 66sylibr 203 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    Fn wfn 5250   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863    <_ cle 8868   2c2 9795   #chash 11337   UMGrph cumg 23860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-umgra 23863
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