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Theorem umgraex 21319
Description: An edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgraex  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, E, y    x, F, y    x, V, y

Proof of Theorem umgraex
StepHypRef Expression
1 umgran0 21316 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  =/=  (/) )
2 n0 3605 . . . 4  |-  ( ( E `  F )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( E `  F
) )
31, 2sylib 189 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  x  e.  ( E `  F ) )
4 umgrass 21315 . . . . . . 7  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  C_  V
)
54sselda 3316 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  V )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  x  e.  V )
7 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( ( E `  F )  \  {
x } )  =  (/) )
8 ssdif0 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  F ) 
C_  { x }  <->  ( ( E `  F
)  \  { x } )  =  (/) )
97, 8sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  C_  { x } )
10 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  x  e.  ( E `  F ) )
1110snssd 3911 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
1211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  { x }  C_  ( E `  F ) )
139, 12eqssd 3333 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  -> 
( E `  F
)  =  { x } )
14 preq2 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x ,  x } )
15 dfsn2 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  { x }  =  { x ,  x }
1614, 15syl6eqr 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  { x ,  y }  =  { x } )
1716eqeq2d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( E `  F
)  =  { x ,  y }  <->  ( E `  F )  =  {
x } ) )
1817rspcev 3020 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  V  /\  ( E `  F )  =  { x }
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
196, 13, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
20 n0 3605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  F
)  \  { x } )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )
214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  C_  V
)
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) )
2322eldifad 3300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  ( E `  F ) )
2421, 23sseldd 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  e.  V
)
25 umgrafi 21318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
27 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  e.  ( E `  F ) )
28 prssi 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( E `
 F )  /\  y  e.  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F ) )
2927, 23, 28syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  C_  ( E `  F )
)
30 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31 ssdomg 7120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E `  F )  e.  _V  ->  ( { x ,  y }  C_  ( E `  F )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) ) )
3230, 29, 31mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~<_  ( E `
 F ) )
33 umgrale 21317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
35 eldifsni 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( E `
 F )  \  { x } )  ->  y  =/=  x
)
3635ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  y  =/=  x
)
3736necomd 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  x  =/=  y
)
38 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
39 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
40 hashprg 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  _V  /\  y  e.  _V )  ->  ( x  =/=  y  <->  (
# `  { x ,  y } )  =  2 ) )
4138, 39, 40mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =/=  y  <->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4237, 41sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  {
x ,  y } )  =  2 )
4334, 42breqtrrd 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } ) )
44 prfi 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { x ,  y }  e.  Fin
45 hashdom 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( E `  F )
)  <_  ( # `  {
x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4626, 44, 45sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( ( # `  ( E `  F
) )  <_  ( # `
 { x ,  y } )  <->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } ) )
4743, 46mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )
48 sbth 7194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { x ,  y }  ~<_  ( E `  F )  /\  ( E `  F )  ~<_  { x ,  y } )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F ) )
4932, 47, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  ~~  ( E `  F )
)
50 fisseneq 7287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  Fin  /\  { x ,  y } 
C_  ( E `  F )  /\  {
x ,  y } 
~~  ( E `  F ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `
 F ) )
5126, 29, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  { x ,  y }  =  ( E `  F ) )
5251eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5324, 52jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  ( x  e.  ( E `  F )  /\  y  e.  ( ( E `  F
)  \  { x } ) ) )  ->  ( y  e.  V  /\  ( E `
 F )  =  { x ,  y } ) )
5453expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( y  e.  ( ( E `  F )  \  {
x } )  -> 
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5554eximdv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( E. y  y  e.  (
( E `  F
)  \  { x } )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) ) )
5655imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
57 df-rex 2680 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. y
( y  e.  V  /\  ( E `  F
)  =  { x ,  y } ) )
5856, 57sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  E. y 
y  e.  ( ( E `  F ) 
\  { x }
) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
5920, 58sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  /\  x  e.  ( E `  F ) )  /\  ( ( E `  F ) 
\  { x }
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } )
6019, 59pm2.61dane 2653 . . . . . 6  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
615, 60jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A )  /\  x  e.  ( E `  F )
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) )
6261ex 424 . . . 4  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( x  e.  ( E `  F
)  ->  ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } ) ) )
6362eximdv 1629 . . 3  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E. x  x  e.  ( E `  F )  ->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) ) )
643, 63mpd 15 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
65 df-rex 2680 . 2  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y }  <->  E. x ( x  e.  V  /\  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  { x ,  y } ) )
6664, 65sylibr 204 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  ( E `  F )  =  {
x ,  y } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675   _Vcvv 2924    \ cdif 3285    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   {cpr 3783   class class class wbr 4180    Fn wfn 5416   ` cfv 5421    ~~ cen 7073    ~<_ cdom 7074   Fincfn 7076    <_ cle 9085   2c2 10013   #chash 11581   UMGrph cumg 21308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-hash 11582  df-umgra 21309
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