Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgrafi Unicode version

Theorem umgrafi 23874
Description: An edge is a finite subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
umgrafi  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )

Proof of Theorem umgrafi
StepHypRef Expression
1 umgrale 23873 . 2  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
2 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
3 ltpnf 10463 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  <  +oo )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  <  +oo
5 ressxr 8876 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
65, 2sselii 3177 . . . . . 6  |-  2  e.  RR*
7 pnfxr 10455 . . . . . 6  |-  +oo  e.  RR*
8 xrltnle 8891 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
2  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  2 ) )
96, 7, 8mp2an 653 . . . . 5  |-  ( 2  <  +oo  <->  -.  +oo  <_  2
)
104, 9mpbi 199 . . . 4  |-  -.  +oo  <_  2
11 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
12 hashinf 11342 . . . . . 6  |-  ( ( ( E `  F
)  e.  _V  /\  -.  ( E `  F
)  e.  Fin )  ->  ( # `  ( E `  F )
)  =  +oo )
1311, 12mpan 651 . . . . 5  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( E `  F ) )  = 
+oo )
1413breq1d 4033 . . . 4  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( E `  F )
)  <_  2  <->  +oo  <_  2
) )
1510, 14mtbiri 294 . . 3  |-  ( -.  ( E `  F
)  e.  Fin  ->  -.  ( # `  ( E `  F )
)  <_  2 )
1615con4i 122 . 2  |-  ( (
# `  ( E `  F ) )  <_ 
2  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
171, 16syl 15 1  |-  ( ( V UMGrph  E  /\  E  Fn  A  /\  F  e.  A
)  ->  ( E `  F )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   Fincfn 6863   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   #chash 11337   UMGrph cumg 23860
This theorem is referenced by:  umgraex  23875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-hash 11338  df-umgra 23863
  Copyright terms: Public domain W3C validator