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Theorem unbenlem 13276
Description: Lemma for unben 13277. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
unbenlem.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
unbenlem  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Distinct variable groups:    m, n, A    m, G, n
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem unbenlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 10006 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
21ssex 4347 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
3 1z 10311 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 unbenlem.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
53, 4om2uzf1oi 11293 . . . . . . 7  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
6 nnuz 10521 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7 f1oeq3 5667 . . . . . . . 8  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  <->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  1 )
)
95, 8mpbir 201 . . . . . 6  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
10 f1ocnv 5687 . . . . . 6  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  `' G : NN -1-1-onto-> om )
11 f1of1 5673 . . . . . 6  |-  ( `' G : NN -1-1-onto-> om  ->  `' G : NN -1-1-> om )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . 5  |-  `' G : NN -1-1-> om
13 f1ores 5689 . . . . 5  |-  ( ( `' G : NN -1-1-> om  /\  A  C_  NN )  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
1412, 13mpan 652 . . . 4  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
15 f1oeng 7126 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
162, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
1716adantr 452 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  ( `' G " A ) )
18 imassrn 5216 . . . 4  |-  ( `' G " A ) 
C_  ran  `' G
19 dfdm4 5063 . . . . 5  |-  dom  G  =  ran  `' G
20 f1of 5674 . . . . . . 7  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  G : om
--> NN )
219, 20ax-mp 8 . . . . . 6  |-  G : om
--> NN
2221fdmi 5596 . . . . 5  |-  dom  G  =  om
2319, 22eqtr3i 2458 . . . 4  |-  ran  `' G  =  om
2418, 23sseqtri 3380 . . 3  |-  ( `' G " A ) 
C_  om
253, 4om2uzuzi 11289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625, 6syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  NN )
27 breq1 4215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  (
m  <  n  <->  ( G `  y )  <  n
) )
2827rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( G `  y )  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
2928rspcv 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3026, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n
) )
3130adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n ) )
32 f1ocnv 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' G  |`  A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A )  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  NN  ->  `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
34 f1ofun 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : om -1-1-onto-> NN  ->  Fun  G )
359, 34ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  G
36 funcnvres2 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
G  ->  `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) ) )
37 f1oeq1 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( `' G  |`  A )  =  ( G  |`  ( `' G " A ) )  ->  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A ) )
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( `' G  |`  A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  <-> 
( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
3933, 38sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
40 f1ofo 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A )
41 forn 5656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  =  A )
4342eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  n  e.  A
) )
44 f1ofn 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A ) )
45 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) )  Fn  ( `' G " A )  ->  (
n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  ran  ( G  |`  ( `' G " A ) )  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4743, 46bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n ) )
4839, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( n  e.  A  <->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )
4948biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A )  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )
50 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  ( G `  m ) )
5150eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  (
( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  <->  ( G `  m )  =  n ) )
5251biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e.  ( `' G " A )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5352adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  ( G `  m )  =  n )
5424sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  m  e.  om )
553, 4om2uzlt2i 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  om )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m ) ) )
5654, 55sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  ( G `  m )
) )
57 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G `  m )  =  n  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  m )  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5856, 57sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( G `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
5953, 58syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n )  ->  (
y  e.  m  <->  ( G `  y )  <  n
) )
6059biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  ( ( y  e. 
om  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  /\  ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n ) )  -> 
y  e.  m )
6160exp44 597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( m  e.  ( `' G " A )  ->  ( ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  y  e.  m ) ) ) )
6261imp31 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G `  y )  <  n  /\  y  e.  om )  /\  m  e.  ( `' G " A ) )  ->  ( (
( G  |`  ( `' G " A ) ) `  m )  =  n  ->  y  e.  m ) )
6362reximdva 2818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( E. m  e.  ( `' G " A ) ( ( G  |`  ( `' G " A ) ) `
 m )  =  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6449, 63syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G `  y
)  <  n  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  C_  NN  /\  n  e.  A
)  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6564exp4b 591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  y )  <  n  ->  (
y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( n  e.  A  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6665com4l 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  (
n  e.  A  -> 
( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) ) )
6766imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( n  e.  A  ->  ( ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
6867rexlimdv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( E. n  e.  A  ( G `  y )  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
6931, 68syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  C_  NN )  -> 
( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7069ex 424 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7170com3l 77 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  ( A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n  ->  ( y  e. 
om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) ) )
7271imp 419 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( y  e.  om  ->  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m ) )
7372ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )
74 unbnn3 7613 . . 3  |-  ( ( ( `' G " A )  C_  om  /\  A. y  e.  om  E. m  e.  ( `' G " A ) y  e.  m )  -> 
( `' G " A )  ~~  om )
7524, 73, 74sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  ( `' G " A )  ~~  om )
76 entr 7159 . 2  |-  ( ( A  ~~  ( `' G " A )  /\  ( `' G " A )  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
7717, 75, 76syl2anc 643 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   omcom 4845   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881   Fun wfun 5448    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667    ~~ cen 7106   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120   NNcn 10000   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  unben  13277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
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