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Theorem unblem1 7256
Description: Lemma for unbnn 7260. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unblem1  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem unblem1
StepHypRef Expression
1 omsson 4763 . . . . . 6  |-  om  C_  On
2 sstr 3273 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  B  C_  On )
31, 2mpan2 652 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  B  C_  On )
4 ssdifss 3394 . . . . 5  |-  ( B 
C_  On  ->  ( B 
\  suc  A )  C_  On )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( B 
C_  om  ->  ( B 
\  suc  A )  C_  On )
65ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A ) 
C_  On )
7 ssel 3260 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  om  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  om ) )
8 peano2b 4775 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
97, 8syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  e.  om ) )
10 eleq1 2426 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  y  <->  suc  A  e.  y ) )
1110rexbidv 2649 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( E. y  e.  B  x  e.  y  <->  E. y  e.  B  suc  A  e.  y ) )
1211rspccva 2968 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  suc  A  e.  om )  ->  E. y  e.  B  suc  A  e.  y )
13 ssel 3260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  om ) )
14 nnord 4767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
15 ordn2lp 4515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  y  ->  -.  (
y  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  y ) )
16 imnan 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  suc  A  ->  -.  suc  A  e.  y )  <->  -.  (
y  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  y ) )
1715, 16sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  ( y  e.  suc  A  ->  -.  suc  A  e.  y ) )
1817con2d 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  y  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) )
1914, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) )
2013, 19syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) ) )
2120imdistand 673 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( y  e.  B  /\  suc  A  e.  y )  ->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A ) ) )
22 eldif 3248 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  suc  A )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A ) )
23 ne0i 3549 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  suc  A )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
2422, 23sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
2521, 24syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( y  e.  B  /\  suc  A  e.  y )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
2625exp3a 425 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  ( suc  A  e.  y  -> 
( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) ) )
2726rexlimdv 2751 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  om  ->  ( E. y  e.  B  suc  A  e.  y  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
2812, 27syl5 28 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
299, 28sylan2d 468 . . . 4  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
3029impl 603 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
31 onint 4689 . . 3  |-  ( ( ( B  \  suc  A )  C_  On  /\  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  ( B  \  suc  A ) )
326, 30, 31syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  ( B  \  suc  A ) )
33 eldifi 3385 . 2  |-  ( |^| ( B  \  suc  A
)  e.  ( B 
\  suc  A )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  B
)
3432, 33syl 15 1  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629    \ cdif 3235    C_ wss 3238   (/)c0 3543   |^|cint 3964   Ord word 4494   Oncon0 4495   suc csuc 4497   omcom 4759
This theorem is referenced by:  unblem2  7257  unblem3  7258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-br 4126  df-opab 4180  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760
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