MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unblem1 Unicode version

Theorem unblem1 7326
Description: Lemma for unbnn 7330. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
unblem1  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem unblem1
StepHypRef Expression
1 omsson 4816 . . . . . 6  |-  om  C_  On
2 sstr 3324 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  om  /\  om  C_  On )  ->  B  C_  On )
31, 2mpan2 653 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  B  C_  On )
43ssdifssd 3453 . . . 4  |-  ( B 
C_  om  ->  ( B 
\  suc  A )  C_  On )
54ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A ) 
C_  On )
6 ssel 3310 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  om  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  om ) )
7 peano2b 4828 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
86, 7syl6ib 218 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  e.  om ) )
9 eleq1 2472 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  y  <->  suc  A  e.  y ) )
109rexbidv 2695 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( E. y  e.  B  x  e.  y  <->  E. y  e.  B  suc  A  e.  y ) )
1110rspccva 3019 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  suc  A  e.  om )  ->  E. y  e.  B  suc  A  e.  y )
12 ssel 3310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  om ) )
13 nnord 4820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
14 ordn2lp 4569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  y  ->  -.  (
y  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  y ) )
15 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  suc  A  ->  -.  suc  A  e.  y )  <->  -.  (
y  e.  suc  A  /\  suc  A  e.  y ) )
1614, 15sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  y  ->  ( y  e.  suc  A  ->  -.  suc  A  e.  y ) )
1716con2d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  y  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) )
1912, 18syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  ( suc  A  e.  y  ->  -.  y  e.  suc  A ) ) )
2019imdistand 674 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( y  e.  B  /\  suc  A  e.  y )  ->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A ) ) )
21 eldif 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  suc  A )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A ) )
22 ne0i 3602 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( B  \  suc  A )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
2321, 22sylbir 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  suc  A )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
2420, 23syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( y  e.  B  /\  suc  A  e.  y )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
2524exp3a 426 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  om  ->  ( y  e.  B  ->  ( suc  A  e.  y  -> 
( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) ) )
2625rexlimdv 2797 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  om  ->  ( E. y  e.  B  suc  A  e.  y  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
2711, 26syl5 30 . . . . 5  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
288, 27sylan2d 469 . . . 4  |-  ( B 
C_  om  ->  ( ( A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) ) )
2928impl 604 . . 3  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )
30 onint 4742 . . 3  |-  ( ( ( B  \  suc  A )  C_  On  /\  ( B  \  suc  A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  ( B  \  suc  A ) )
315, 29, 30syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  ( B  \  suc  A ) )
3231eldifad 3300 1  |-  ( ( ( B  C_  om  /\  A. x  e.  om  E. y  e.  B  x  e.  y )  /\  A  e.  B )  ->  |^| ( B  \  suc  A )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675    \ cdif 3285    C_ wss 3288   (/)c0 3596   |^|cint 4018   Ord word 4548   Oncon0 4549   suc csuc 4551   omcom 4812
This theorem is referenced by:  unblem2  7327  unblem3  7328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813
  Copyright terms: Public domain W3C validator