Theorem unblem2 4541

Description: Lemma for unbnn 4544. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem2	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . . 4 |- (z = (/) -> (F` z) = (F` (/)))
2	1	eleq1d 1540	. . 3 |- (z = (/) -> ((F` z) e. A <-> (F` (/)) e. A))
3		fveq2 3724	. . . 4 |- (z = u -> (F` z) = (F` u))
4	3	eleq1d 1540	. . 3 |- (z = u -> ((F` z) e. A <-> (F` u) e. A))
5		fveq2 3724	. . . 4 |- (z = suc u -> (F` z) = (F` suc u))
6	5	eleq1d 1540	. . 3 |- (z = suc u -> ((F` z) e. A <-> (F` suc u) e. A))
7		onint 3006	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
8		omsson 3136	. . . . . 6 |- om (_ On
9		sstr 2072	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
10	8, 9	mpan2 696	. . . . 5 |- (A (_ om -> A (_ On)
11		peano1 3149	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
12		eleq1 1534	. . . . . . . . . . 11 |- (w = (/) -> (w e. v <-> (/) e. v))
13	12	rexbidv 1664	. . . . . . . . . 10 |- (w = (/) -> (E.v e. A w e. v <-> E.v e. A (/) e. v))
14	13	rcla4v 1873	. . . . . . . . 9 |- ((/) e. om -> (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v))
15	11, 14	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v e. A (/) e. v)
16		df-rex 1650	. . . . . . . 8 |- (E.v e. A (/) e. v <-> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
17	15, 16	sylib 198	. . . . . . 7 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v(v e. A /\ (/) e. v))
18		pm3.26 319	. . . . . . . 8 |- ((v e. A /\ (/) e. v) -> v e. A)
19	18	19.22i 1040	. . . . . . 7 |- (E.v(v e. A /\ (/) e. v) -> E.v v e. A)
20	17, 19	syl 10	. . . . . 6 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> E.v v e. A)
21		ne0 2288	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.v v e. A)
22	20, 21	sylibr 200	. . . . 5 |- (A.w e. om E.v e. A w e. v -> A =/= (/))
23	7, 10, 22	syl2an 454	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> |^|A e. A)
24		fr0t 3952	. . . . . . 7 |- (|^|A e. A -> ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/)) = |^|A)
25		unblem.2	. . . . . . . 8 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
26	25	fveq1i 3725	. . . . . . 7 |- (F` (/)) = ((rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)` (/))
27	24, 26	syl5req 1520	. . . . . 6 |- (|^|A e. A -> |^|A = (F` (/)))
28	27	eleq1d 1540	. . . . 5 |- (|^|A e. A -> (|^|A e. A <-> (F` (/)) e. A))
29	28	ibi 592	. . . 4 |- (|^|A e. A -> (F` (/)) e. A)
30	23, 29	syl 10	. . 3 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` (/)) e. A)
31		ax-17 971	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
32		ax-17 971	. . . . . . . . . 10 |- (w e. u -> A.x w e. u)
33		ax-17 971	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. A -> A.x w e. A)
34		unblem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. F -> A.x w e. F)
35	34, 32	hbfv 3729	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. (F` u) -> A.x w e. (F` u))
36	35	hbsuc 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. suc (F` u) -> A.x w e. suc (F` u))
37	33, 36	hbdif 2161	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. (A \ suc (F` u)) -> A.x w e. (A \ suc (F` u)))
38	37	hbint 2543	. . . . . . . . . 10 |- (w e. |^|(A \ suc (F` u)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` u)))
39		suceq 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (F` u) -> suc x = suc (F` u))
40	39	difeq2d 2159	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (F` u) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` u)))
41	40	inteqd 2538	. . . . . . . . . 10 |- (x = (F` u) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` u)))
42	31, 32, 38, 25, 41	frsucopab 3954	. . . . . . . . 9 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (F` suc u) = |^|(A \ suc (F` u)))
43	42	eqcomd 1480	. . . . . . . 8 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) = (F` suc u))
44	43	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- ((u e. om /\ |^|(A \ suc (F` u)) e. A) -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A))
45	44	ex 373	. . . . . 6 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A <-> (F` suc u) e. A)))
46	45	ibd 594	. . . . 5 |- (u e. om -> (|^|(A \ suc (F` u)) e. A -> (F` suc u) e. A))
47		unblem1 4540	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> |^|(A \ suc (F` u)) e. A)
48	46, 47	syl5 21	. . . 4 |- (u e. om -> (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` u) e. A) -> (F` suc u) e. A))
49	48	exp3a 375	. . 3 |- (u e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` u) e. A -> (F` suc u) e. A)))
50	2, 4, 6, 30, 49	finds2 3158	. 2 |- (z e. om -> ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (F` z) e. A))
51	50	com12 11	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  unblem3 4542  unblem4 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain