Theorem unblem3 4542

Description: Lemma for unbnn 4544. The value of the function F is less than its value at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	|- (w e. F -> A.x w e. F)
unblem.2	|- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)

Assertion

Ref	Expression
unblem3	|- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unblem.1	. . . . . . 7 |- (w e. F -> A.x w e. F)
2		unblem.2	. . . . . . 7 |- F = (rec({<.x, y>. | y = |^|(A \ suc x)}, |^|A) |` om)
3	1, 2	unblem2 4541	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. A))
4	3	imp 350	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. A)
5		omsson 3136	. . . . . . . 8 |- om (_ On
6		sstr 2072	. . . . . . . 8 |- ((A (_ om /\ om (_ On) -> A (_ On)
7	5, 6	mpan2 696	. . . . . . 7 |- (A (_ om -> A (_ On)
8		ssel 2063	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (F` z) e. On))
9	8	anc2li 302	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
10	7, 9	syl 10	. . . . . 6 |- (A (_ om -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
11	10	ad2antrr 404	. . . . 5 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> ((F` z) e. A -> (A (_ On /\ (F` z) e. On)))
12	4, 11	mpd 26	. . . 4 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (A (_ On /\ (F` z) e. On))
13		onmindif 3060	. . . 4 |- ((A (_ On /\ (F` z) e. On) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
14	12, 13	syl 10	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. |^|(A \ suc (F` z)))
15		unblem1 4540	. . . . . . 7 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ (F` z) e. A) -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A)
16	15	ex 373	. . . . . 6 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> ((F` z) e. A -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
17	3, 16	syld 27	. . . . 5 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> |^|(A \ suc (F` z)) e. A))
18		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. |^|A -> A.x w e. |^|A)
19		ax-17 971	. . . . . . 7 |- (w e. z -> A.x w e. z)
20		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.x w e. A)
21	1, 19	hbfv 3729	. . . . . . . . . 10 |- (w e. (F` z) -> A.x w e. (F` z))
22	21	hbsuc 3040	. . . . . . . . 9 |- (w e. suc (F` z) -> A.x w e. suc (F` z))
23	20, 22	hbdif 2161	. . . . . . . 8 |- (w e. (A \ suc (F` z)) -> A.x w e. (A \ suc (F` z)))
24	23	hbint 2543	. . . . . . 7 |- (w e. |^|(A \ suc (F` z)) -> A.x w e. |^|(A \ suc (F` z)))
25		suceq 3034	. . . . . . . . 9 |- (x = (F` z) -> suc x = suc (F` z))
26	25	difeq2d 2159	. . . . . . . 8 |- (x = (F` z) -> (A \ suc x) = (A \ suc (F` z)))
27	26	inteqd 2538	. . . . . . 7 |- (x = (F` z) -> |^|(A \ suc x) = |^|(A \ suc (F` z)))
28	18, 19, 24, 2, 27	frsucopab 3954	. . . . . 6 |- ((z e. om /\ |^|(A \ suc (F` z)) e. A) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
29	28	ex 373	. . . . 5 |- (z e. om -> (|^|(A \ suc (F` z)) e. A -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
30	17, 29	sylcom 51	. . . 4 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z))))
31	30	imp 350	. . 3 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` suc z) = |^|(A \ suc (F` z)))
32	14, 31	eleqtrrd 1551	. 2 |- (((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) /\ z e. om) -> (F` z) e. (F` suc z))
33	32	ex 373	1 |- ((A (_ om /\ A.w e. om E.v e. A w e. v) -> (z e. om -> (F` z) e. (F` suc z)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   (_ wss 2047  |^|cint 2533  {copab 2666  Oncon0 2948  suc csuc 2950  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931

This theorem is referenced by:  unblem4 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932

Copyright terms: Public domain